Corps p-adiques.

En anglais, y a aussi "Local fields" de Cassels (London Mathematical Society, Student Texts 3).

En français il y a Eléments d'Analyse et d'Algèbre de Pierre Colmez (éditions de l'Ecole Polytechnique) et Nombres et Algèbres de Jean-Yves Mérindol (collection Grenoble Sciences). Je pense aussi à Invitation aux Mathématiques de Fermat-Wiles qui a un chapitre sur les p-adiques. Ces livres sont (relativement) récents et comblent un grand manque dans la littérature scientifique en langue française.


Je recommande plutôt les livres de Colmez et Mérindol pour commencer. Mais je les situe plus à un (très bon) niveau M1 que L3. Les p-adiques sont utilisés par Serre dans son Cours d'Arithmétique pour étudier les formes quadratiques entières, mais introduits de façon plutôt brutale.


L'utilisation des nombres p-adiques concerne des mathématiques plutôt élaborées, et plutôt récentes dans l'histoire des maths (20ème siècle). Ca explique pourquoi ils ne font pas partie de la culture classique d'un étudiant (ils sont absents de l'agrégation, du M1, et des anciennes maîtrises). Ils sont abordés en M2 recherche, souvent en lien avec la théorie algébrique ou analytique (anneau des adèles) des nombres.

Ca n'est pas évident d'apprendre les nombres p-adiques sans avoir une motivation d'application à relativement cours terme. Mais pourquoi pas.

On peut définir les nombres $g$-adiques, pour $g$ premier ou non, sans diagramme commutatif ni limite projective, en décidant simplement qu'il s'agit de nombres qui s'écrivent en base $g$ avec une infinité de chiffres à gauche, avec les opérations habituelles d'addition et multiplication. On appelle ceci le développement de Hensel du nombre en question. J'avais fait un article là-dessus dans « Pour la Science » en 1986, qui définissait les nombres « dix-adiques » de façon purement élémentaire, en partant par exemple des nombres comme $109376$, dont le carré se termine par $109376$. J'en ai déjà parlé sur ce forum.

À mon avis, si l'on ne traite pas de ces nombres dans les cursus universitaires généraux de mathématiques, ce n'est pas parce qu'il s'agirait de notions compliquées, ou découvertes récemment. Les concepts d'espace vectoriel ou d'espace métrique ne sont pas plus anciens. C'est sans doute parce qu'il faut bien choisir entre ce qu'on enseigne, dans un temps forcément limité. Ceci a plutôt sa place dans un cours plus spécialisé de théorie des nombres, où il y a pas mal d'applications.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

Merci Chaurien pour ce pdf.

Cidrolin, ancien élève (AEA) d'Yvette Amice.

Honnêtement lis Jean-Pierre Serre. C'est sec mais sans doute une des meilleures références : tu auras peut être du mal à le lire (mais c'est bien lisible quand même ) et au pire tu reviendras poser des questions sur le forum. Et en plus Serre écrit très bien les maths de manière efficace et sans fioritures. En plus tu profiteras de sa vision et de ses choix pédagogiques...

En ce qui concerne les applications je te propose de lire en parallèle le Silvermann sur les courbes elliptiques, c'est très plaisant. Les algébristes te renseigneront mieux que moi, c'est en tout cas ce que je te conseille !

Edouard Cidrolin a écrit:

Cidrolin, ancien élève (AEA) d'Yvette Amice.

Snap !

e.v.

A mon avis $\mathbb{Z}_p$ ne sert à rien et est incompréhensible si on n'a pas vu un peu de théorie de Galois, d'anneaux quotients, et à quoi ressemble $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_{\infty})/\mathbb{Q})$ et $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$.

Une fois que c'est connu, alors aucun problème pour définir $\mathbb{Z}_p$ comme l'ensemble des suites $a = (a_1,a_2,\ldots),~ a_n \in \mathbb{Z}/p^n \mathbb{Z},~a_{n+m} \equiv a_n \bmod p^n $ muni de l'addition et de la multiplication point par point $\bmod ~ p^n$, puis d'en déduire $|.|_p $, les séries $p$-adiques, et tout le reste.

Et à mon avis parler de nombres décimaux ayant un nombre infini de chiffres avant la virgule et pour lesquels les règles d'addition et multiplication "marchent à peu près pareil" (mais pas la soustraction et la division) c'est incompréhensible (autrement dit l'article de wikipedia en anglais est d'une nullité absolue)

@reuns : euh, c'est ton avis, clairement pas le mien. Je n'ai pas grande idée d'à quoi "ressemble" $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$, par contre pour $\mathbb Z_p$ en tant qu'anneau à valuation discrète, je me le représente beaucoup mieux.

reuns a écrit:

Une fois que tu sais parler de $\mathbb{Q}(\zeta_3,\sqrt[3]{2})$ et de $\mathbb{Z}_p$, alors tu sais construire $\text{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_\infty)/\mathbb{Q})$ et $\text{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ en assemblant les éléments des $\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$ respectant certaines relations de compatibilité.

Savoir écrire le groupe de Galois absolu de $\mathbb Q$ comme limite projective des groupes de Galois des extensions finies galoisiennes de $\mathbb Q$, ne permet pas de "construire" ce groupe de Galois absolu. Évidemment, on montre ainsi que ce groupe peut être muni d'une topologie qui en fait un groupe profini (compact totalement discontinu), mais on est guère avancé pour le comprendre. Ce groupe est un des plus grand mystère des maths contemporaines. On sait décrire certains de ses quotients mais c'est tout.

Justement, cette série ne converge pas dans $\mathbb Z$ (pour cette valeur absolue).

@moduloP
Je n'ai pas pu m'empêcher de jouer. Je me suis demandé ce que je pouvais faire avec la machinerie ``universelle'' de remontée de Newton de l'autre jour (dans le fil de killersmile38). Cette machinerie prend en donnée un polynôme $F$ en une variable $X$ vérifiant $1 = UF + VF'$ pour deux polynômes ad-hoc $U,V$. Si l'anneau de base est un corps, cela s'énonce en $F, F'$ sont premiers entre eux. On a en fait besoin de moins (juste du fait qu'en une approximation $x_0$ ...etc... je zappe).

Ici, le $F$ sur la sellette est $F = X^2 + 1$ qui vérifie $2 = 2F - XF'$. On ne peut pas faire mieux i.e. on n'a pas $1 \in \langle F, F'\rangle$ au dessus de $\Z$. Faire universel ici impliquerait de travailler au dessus de $\Z[1/2]$. Pour des raisons de logiciel, je vais travailler au-dessus de $\Q$ en espérant que les calculs ne sortent pas de $\Z[1/2]$ mais il n'y a aucune raison. Rappel : dans le procédé universel de Newton, on ne relève pas une racine : on pense juste que $X$ est une racine de $F$ ... modulo $F(X)$. Petite prise de tête, j'en conviens.
Allons-y. Ci-dessous AUCUNE trace de 5, je parle du 5 de l'anneau 5-adique $\Z_5$

> k := RationalField() ;
> kX<X> := PolynomialRing(k) ;
> F := X^2 + 1 ;
> // F' = 2X + 1 -->  2 = 2F - X*F'
> N := 7 ;
> L := NewtonLifts(F, N) ;        // MAISON                                                                            
> L ;
[
    X,
    1/2*X^3 + 3/2*X,
    3/8*X^5 + 5/4*X^3 + 15/8*X,
    5/16*X^7 + 21/16*X^5 + 35/16*X^3 + 35/16*X,
    35/128*X^9 + 45/32*X^7 + 189/64*X^5 + 105/32*X^3 + 315/128*X,
    63/256*X^11 + 385/256*X^9 + 495/128*X^7 + 693/128*X^5 + 1155/256*X^3 + 693/256*X,
    231/1024*X^13 + 819/512*X^11 + 5005/1024*X^9 + 2145/256*X^7 + 9009/1024*X^5 + 3003/512*X^3 + 3003/1024*X
]

J'ai pris au pif $N=7$ relevés. Impeccable. Je veux dire qu'il y a des dénominateurs certes mais ce sont des puissances de 2 comme attendu. Maintenant, bossons dans un presque vrai $\Z_5$, presque vrai car j'ai mentionné une certaine précision (à savoir $N=7$) :

> Z5 := pAdicRing(5, N) ;
> MinusOne := Z5 ! -1 ;
> Sqrt(MinusOne) ;
-32318

Et reprenons maintenant les résultats ``universels'' de Newton (indépendants de 5) et évaluons le dernier remonté en une racine carrée de $-1$ modulo 5. J'ai pris 2 pour racine carrée. Evidemment, je vais utiliser le fait que $2$ est inversible dans $\Z_5$. Arg : je constate qu'il y a deux 2 qui n'ont rien à voir : le 2 de $2 = UF + VF'$ d'une part et le 2 tel que $2^2 = -1 \bmod 5$. Du point de vue pédagogique, ce n'est pas top. Peut-être je devrais recommencer

> // 2^2 = -1 modulo 5
> ApproximativeSqrtOfMinusOne := 2 ;
> i := Evaluate(L[#L], ApproximativeSqrtOfMinusOne) ;
> i ;
4625059/512
> Z5!i ;
-32318
> (Z5!i)^2  + 1 ;       
0

Je recommence en remplaçant 5 par 13. Je ne recalcule pas les relevés de Newton qui en sont indépendants. J'ai pris $5$ comme racine carrée de $-1$ modulo 13. Mais ce 5 n'a pas de rapport avec le 5 d'avant. Arg again.

> Z13 := pAdicRing(13, N) ;
> MinusOne := Z13 ! -1 ;
> Sqrt(MinusOne) ;
6826318
> 
> // 5^2 = -1 modulo 13
> ApproximativeSqrtOfMinusOne := 5 ;
> i := Evaluate(L[#L], ApproximativeSqrtOfMinusOne) ;
> i ;
5819336135/16
> Z13!i ;
6826318
> (Z13!i)^2  + 1 ;       
0

Merci qui ? Merci Newton.

$\def\E{\widetilde e}$@moduloP
Bonne idée car beaucoup de choses à dire et à faire sur la remontée de Newton, même si cela paraît un outil rudimentaire. Cela permet par exemple de déterminer sur un corps de base la décomposition matricielle $A= D + N$ avec $N$ nilpotente ...etc.. Et pour des raisons pédagogiques (bigre), cette machinerie de Newton devrait être présentée avant Hensel. Enfin, c'est ce que j'en dis.

On pourra ouvrir un fil si on s'ennuie. Ici juste le principe pour un polynôme $F$, l'alibi étant de cerner une racine de $F$ à partir d'une approximation $x_0$ :
$$
x_{n+1} = x_n - {F(x_n) \over F'(x_n)} \qquad\qquad (\star)
$$
Bien sûr, on parle de méthode de Newton algébrique. Un certain nombre de variantes dans $(\star)$. Par exemple, on n'est pas obligé de recalculer le dénominateur $F'(x_n)$ car il faudra l'inverser modulo le modulus en cours : on peut le remplacer par $F'(x_0)$ . A voir.

Application classique : relèvement d'un idempotent où le polynôme $F$ qui intervient est $F(X) = X^2 - X$. On dispose de $e$ vérifiant $e^2 = e \bmod I$ et on veut déterminer $\widetilde e$ au dessus de $e$ modulo $I$, vérifiant $\widetilde e^2 \equiv \widetilde e \bmod I^2$. La formule $(\star)$ conduit à :
$$
\widetilde e = 3e^2 - 2e^3
$$
Note : on a $F'(X) = 2X - 1$ et un vrai idempotent $e$ vérifie $(2e-1)^2 = 1$ ...etc...

A propos de la chose universelle. Ci-dessus, cela donne l'impression qu'il faut disposer d'un anneau commutatif, d'un idéal $I$, d'un idempotent modulo $I$. Mais pas du tout. Car on prend pour $e$ une indéterminée sur $\Z$ et tout se passe dans l'anneau de polynômes $\Z[e]$. On prend comme modulus $I = \langle e^2 - e\rangle$ et c'est sûr que $e^2 = e \bmod I$ !! Et ce que je dis, c'est que :
$$
\E := 3e^2 - 2e^3 \quad \hbox { vérifie }\quad \E - \E^2 \hbox { est multiple de } (e - e^2)^2 \qquad \qquad \hbox {(noter le carré)}
$$
On peut d'ailleurs le vérifier par un calcul bourrin :
$$
\E - \E^2 = \E \times (1 - \E) = (3e^2 - 2e^3) \times (2e^3 - 3e^2 + 1) = e^2(3-2e) \times (e-1)^2 (2e + 1) =
e^2 (e-1)^2 \times \hbox {quelque-chose}
$$
Note : le polynôme $2e^3 - 3e^2 + 1$ est nul en $e := 1$ et idem pour sa dérivée. Ceci explique la mise en facteurs de $(e-1)^2$.

Vachement important le relèvement des idempotents.

@moduloP
Tu vas être étonné mais il y a des choses que je ne comprends pas dans ton programme Sage : le xgcd il est pris entre qui et qui ? R est de quelle nature ? C'est quoi ce subs ? A quoi sert ideal ? ...etc..

C.Q. pinailleur : pourquoi mettre $k$ entre parenthèses dans P**(k) la première fois et pas la seconde ?

En général, je trouve la programmation ``cryptique'' quelque soit le langage. Sauf que de mon côté, à force de faire trop de magma, j'ai fini par penser (à tort) qu'il contenait moins de constructions cryptiques ; mais je n'en suis pas sûr du tout. Ci-dessous, je construis une séquence (de nom Lifts) de longueur $N$ dans laquelle je range la suite $(x_k)_{1 \le k \le N}$ définie par
$$
x_{k+1} = x_k - uF(x_k), \qquad x_1 = X , \qquad \hbox {$u$ inverse de $F'$ modulo $F$ i.e. $uF' = 1 \bmod F$ (calculé une fois pour toutes)}
$$
Pour éviter que cela ne grossisse pas trop, je réduis $x_k$ modulo $F^k$, mais je n'y suis pas obligé du tout.

NewtonLifts := function(F, N)
  // F est un polynôme à une variable à coefficients dans un corps k
  // Il est supposé séparable
  // Retourne les N premiers itérés de Newton x_1=X, x_2, .., x_N
  DF := Derivative(F) ;
  gcd, u, v := XGCD(DF, F) ;
  assert gcd eq 1 and  u*DF + v*F eq 1 ;
  X := Parent(F).1 ;
  // x_{k+1} = x_k - u*F(x_k)
  x1 := X ;
  Lifts := [X] ;
  for k := 2 to N do
    x := Lifts[k-1] ;  // x = x_{k-1}
    y := (x - u*Evaluate(F,x)) mod F^k ; // y = x_k
    assert Evaluate(F,y) mod F^k eq 0   and   (y - x1) mod F eq 0 ;
    Append(~Lifts, y) ;
  end for ;
  return Lifts ;
end function ;

@ CechLM
Un entier $5$-adique $x$, élément de l'anneau $\mathbb Z_5$, s'écrit :$x=...a_4a_3a_2a_1a_0$, les $a_i$ étant des « chiffres » en base $5$, c'est-à-dire $0,1,2,3$ ou $4$. Ce qui signifie : $ \displaystyle x=\overset{+\infty }{\underset{k=0}{\sum }}5^{k}a_{k}$. C'est le développement de Hensel de $x$.
On considère, pour chaque $n \in \mathbb N$ le nombre $\displaystyle x_{n}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}5^{k}a_{k}$, et ces nombres constituent les « valeurs approchées » successives de $x$.
Pour trouver $x \in \mathbb Z_5$ tel que $x^2=-1$, on cherche ces chiffres $a_k$ l'un après l'autre. D'abord, $a_0^2 \equiv -1 \pmod 5$. On démarre donc avec $a_0=2$ ou $a_0=3$. On en choisit un, par exemple $a_0=2$.
Ensuite, $x_1=5a_1+a_0$ doit vérifier : $x_1^2 \equiv -1 \pmod {5^2}$. On trouve $a_1=1$.
Et ainsi de suite.
Si l'on veut rester dans $ \mathbb N$, on cherche pour chaque $n \in \mathbb N$ le nombre $\displaystyle x_{n}=\overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}5^{k}a_{k}$ tel que : $x_n^2 \equiv -1 \pmod {5^{n+1}}$. Ceci se fait simplement, de proche en proche.
Le développement de Hensel de $-1$ dans $\mathbb Z_5$ est : $....4444$. En fait, on cherche les nombres entiers naturels $x_n$ de $n+1$ chiffres en base $5$ tels que leur carré écrit en base $5$ se termine par $n+1$ chiffres $4$.
Ainsi les entiers $5$-adiques sont comme j'ai dit « à l'horizon » de l'arithmétique en base $5$.
Ceci peut se généraliser aux autres valeurs de $p$ premier, avec peut-être un petit souci pour $p=2$. Et aussi pour des racines qui ne soient plus carrées, et si l'on remplace $p$ par $g$ non premier, mais tout ça avec précaution.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
21/01/2018

@Claude :

J'ai modifié un peu :

def Newton(f,N):
	w = (f.parent()).gen()
	K.<w> = QQ[]; F = K(f)
	DERIVATIVE_f = F.derivative()
	A = []
	A.append(w)
	R = F.xgcd(DERIVATIVE_f)
	assert R[0] == 1 
	u,v = R[1], R[2]
	assert u*F+v*DERIVATIVE_f == 1;
	for k in range(1,N):
		Xk = A[k-1]-F(A[k-1])*v
		A.append(Xk.mod(F**(k+1)))
 	return(A)

Pour une racine de $-1$ dans $\Z_5$ : $2 + 5 + 2*5^2 + 5^3 + 3*5^4 + 4*5^5 + 2*5^6 + O(5^7)$

En fait, il y a un décalage de liste : le premier terme d'un liste $L$ est L[0] et non L[1]. Je pense que le binz $k-2$ viens de là, j'ai re-modifié dans l'autre post en mettant $k-1$ mais je dois mettre la puissance (de réduction) sur $k+1$.

Oui oui, je comprends, merci Claude !