L'image d'un élément d'ordre 2

marwanus
marwanus
dans Algèbre
Bonjour,

Etant donné un groupe $G$ d'ordre $2n$ avec $n$ impair, qui contient au moins un élément d'ordre 2.
On me demande de montrer que l'image du morphisme injectif donné par le th. de Cayley n'est pas contenu dans le groupe alterné $2n$.
Je ne comprends pas la solution en attache, notamment, le fait que la permutation associée à l'élément d'ordre 2 est le produit de $n $ transpositions à supports disjoints.

Je vous remercie.70730

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Décompose en produits de cycles disjoints la permutation $h\mapsto gh$ de $G$. Autrement dit, regarde les orbites de l'action par translation à gauche sur $G$ du sous-groupe engendré par $g$ (sous-groupe d'ordre $2$).
  • LOU16
    LOU16
    Bonjour,

    Si on note $s$ l'image de $g$ par le morphisme que tu évoques, on a, pour élément $a$ de $G$:

    $ s(a) = g. a$ et donc $s(a) \neq a$, et d' autre part, $s(s(a)) = g.g.a = a$.

    Ainsi $s$ est le produit de $n$ transpositions.
    Amicalement,

    (corrigé à la suite de la remarque de GaBuZoMeu car la translation à droite qui ne réalise qu'un "antimorphisme" n' allait pas)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Tu écris une translation à droite au lieu d'une translation à gauche ; il faut corriger. À ceci près, je pense que tu as saisi l'idée.
  • marwanus
    marwanus
    Merci beaucoup GaBuZoMeu et LOU16 pour votre aide, je comprends mieux.

    Bonne journée!
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