Valeurs propres

Tankario · December 2017

Bonjour,
Je sais que si $\lambda$ est valeur propre de $f \in L(E,E)$ alors $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(f)$. Mais qu'en est-il de la réciproque ?

Merci à vous.

Phare · December 2017

Que serait la réciproque pour toi ?

Ça par exemple :
Est-ce que toute valeur propre de $P(f)$ est égale à $P(\lambda)$ avec $\lambda$ valeur propre de $f$ ?

Tankario · December 2017

"Est-ce que si $P(\lambda)$ est valeur propre de $P(f)$, alors $\lambda$ est valeur propre de $f$ ?"

Phare · December 2017

Si c'est ça ta question alors je crois que la réponse est oui et tu peux le voir en trigonalisant la matrice de ton application linéaire.

EDIT; je détaille, ce que je veux dire, on sait qu'il y'a une base dans laquelle la matrice de $f$ est trangulaire supérieure, soit $A$ cette matrice.
On peut lire les valeurs propres de $f$ sur la diagonale de $A$ mais alors $P(A)$ est une matrice triangulaire qui représente $P(f)$, on peut alors lire toutes les valeurs propres de $P(f)$ dans $P(A)$ et toutes les valeurs propres sont de la forme $P(\lambda)$ avec $\lambda$ valeur propre de $f$.

Phare · December 2017

Ma question englobe la tienne si je ne me trompes pas.

Edit: à part si tu veux te restreindre aux valeurs propres réelles.

gb · December 2017

Bonjour,

Avec $P= X^2$ et en caractéristique différente de 2: $P(1)$ est valeur propre de $P(-\mathrm{id})$, mais $1$ n'est pas valeur propre de $-\mathrm{id}$.

Maxtimax · December 2017

La question de savoir si "$P(\lambda)$valeur propre de $P(f)$ implique $\lambda$ valeur propre de $f$" est évidemment fausse en général, pour un corps assez grand, car $P$ peut avoir la même valeur en $n+1$ points distincts (disons $E$ de dimension $n$); ce qui est absurde car $f$ a au plus $n$ valeurs propres.

La question de savoir si toute valeur propre de $P(f)$ est de la forme $P(\lambda)$ pour un $\lambda$ valeur propre de $f$ est déjà bien plus "sensée", et mérite un peu plus de réflexion.

L'idée de trigonaliser n'est pas mauvaise, mais elle requiert de supposer $K$ algébriquement clos (en fait $P$ scindé) ou d'accepter que $\lambda$ ne soit pas dans le corps initialement considéré. Et en fait cette remarque permet de trouver des contrexemples en général.

Prenons en effet $K$ un corps, $M$ une matrice sur $K$ non trigonalisable (en dimension $2$ par exemple, cela revient à dire qu'elle n'a pas de valeur propre par exemple), et $P$ un polynôme annulateur de $M$. Alors $P(M)=0$ donc admet $0$ comme valeur propre; pourtant $P(\lambda) = 0$ pour aucune valeur propre $\lambda$ de $M$ (dans $K$): $M$ n'a pas de valeur propre. Voir ceci en termes d'endomorphismes permet de le voir plus clairement, car pour les matrices on a l'habitude de parler de "valeurs propres complexes" d'une matrice réelle même si l'espace initial est un espace sur $\mathbb{R}$