Isomorphisme

CIT · December 2017

Bonjour,
Je veux montrer que Z[X]/ I est isomorphe à Z/5Z
Avec I = { p(x) dans Z[x] tel que 5 divise p(0) }

Je prends un morphisme phi de Z/5Z dans Z[X]
Qui a la classe de P(x) associe P(0)

Je fais la division euclidienne de P’(X)= p(x)q(x) + r(x)
Phi ( p’(x))= p(0)q(0) + r(0)
5 divise p(0) donc c’est nul le noyeau est I

Est ce que c’est bon?

Merci d’avance

gb · December 2017

Bonjour,

Je rectifie : \(\phi\) est défini de \(\mathbf{Z}[X]\) dans \(\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}\) et non l'inverse.

Que le noyau soit \(I\) découle immédiatement de la définition de \(\phi\) : la division euclidienne est totalement inutile... par contre il faudrait justifier, rapidement du fait que \(\phi\) est un morphisme.

Pour finir, \(\phi\) induit un isomorphime de \(\mathbf{Z}[X]/\mathrm{Ker}\phi\) dans \(\mathrm{Im}\phi\) : il te reste à prouver que \(\phi\) est surjectif.

CIT · December 2017

D’accord Merci beaucoup !

Isomorphisme

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