Groupes non isomorphes d'ordre 21
Bonsoir,
On me demande d'exhiber deux groupes non isomorphes d'ordre 21.
On a $21 = 3 \times 7 $ donc un groupe d'ordre $21$ est isomorphe soit à $\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}$ soit à $\mathbb{Z}/3Z\times \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.
Or $3 \wedge 7 = 1 $ donc d'après le lemme Chinois $\mathbb{Z}/21\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$
J'en déduis deux conséquences erronées:
-Tout groupe d'ordre 21 serait isomorphe à $\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}$ et donc abélien?
-il n'existe pas deux groupes non isomorphes d'ordre 21.
Je n'arrive pas à voir mon erreur, je vous remercie pour vos lumières ^^
On me demande d'exhiber deux groupes non isomorphes d'ordre 21.
On a $21 = 3 \times 7 $ donc un groupe d'ordre $21$ est isomorphe soit à $\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}$ soit à $\mathbb{Z}/3Z\times \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.
Or $3 \wedge 7 = 1 $ donc d'après le lemme Chinois $\mathbb{Z}/21\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$
J'en déduis deux conséquences erronées:
-Tout groupe d'ordre 21 serait isomorphe à $\mathbb{Z}/21\mathbb{Z}$ et donc abélien?
-il n'existe pas deux groupes non isomorphes d'ordre 21.
Je n'arrive pas à voir mon erreur, je vous remercie pour vos lumières ^^
Réponses
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Un groupe d'ordre 21 est-il nécessairement abélien ? (Le théorème de décomposition ne vaut que pour les groupes abéliens.)
N'y a-t-il pas un morphisme non trivial de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ vers $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^*$ ? -
Ce qui est erroné c'est l'affirmation que puisque $21 = 3 \times 7$ alors les "deux" seules possibilités sont celles que tu affirmes. Crois-tu que parce que $6=2 \times 3$ alors tout groupe d'ordre $6$ est cyclique ? Que dire de $\mathfrak S_3$ dans ce cas ?
-
Sans moyen moderne, on peut donner une classification des groupes d'ordre $pq$ avec $p$ et $q$ premiers distincts si l'on connaît un peu le produit semi-direct.
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@Marwanus
Nous allons faire intervenir le corps $\mathbb F_7 = \Z/7\Z$ ; je note $j$ l'élément $2$ de ce corps.
(1) Pourquoi l'utilisation de la lettre $j$ (facile mais je donne quand même une indication car c'est la première question : quid de $j^2 + j + 1$ ? de $j^3$ ?).
(2) On considère l'ensemble $G$ des bijections (affines) de $\mathbb F_7$ dans lui-même. Ce sont les bijections $\mathbb F_7 \ni x \mapsto b + ax \in \mathbb F_7$ avec $b \in \mathbb F_7$, $a \in \mathbb F_7^*$. $G$ est un groupe pour la loi de composition, n'est ce pas ? Combien d'éléments ? $G$ est-il commutatif ?
(3) Je considère le sous-groupe $H$ de $G$ constitué des $x \mapsto b + ax$ avec $b \in \mathbb F_7$ et $a \in \langle j\rangle = \{1,j,j^2\}$. Questions analogues aux précédentes en remplaçant $G$ par $H$.
(4) Saurais tu donner un système de 2 générateurs pour $H$ ? Et pour $G$ ?
(5) Pourquoi est ce que j'utilise l'écriture $x \mapsto b + ax$ et pas l'écriture (équivalente) $x \mapsto ax + b$ ? -
Merci à tous pour votre aide.
@Skilveg, je n'arrive pas à comprendre le morphisme non trivial de $\Z/3\Z$ vers $\Z/7\Z^*$, qui est présent aussi dans le lien de @Chaurien,
Est-ce que cela concerne le produit semi-direct ou pas du tout?
@Chaurien, j'ai un peu de mal à tout suivre mais je vais le relire en détail
@Poirot, en effet je préfère sans les moyens modernes, j'ai trouvé ce papier sur la classification de tels groupes, il ne me manque que quelques éléments pour en comprendre le cas p divise (q - 1). Dommage qu'ils ne donnent pas du coup l'autre structure qui n'est pas isomorphe à $\Bbb{Z}_{pq}$
@Claude:
1) Les racines de l'unité sont $1, j=e^{2i/3\pi} , j^2$ et $j^2 + j + 1 = 0$ car $x^3-1=(x-1)(1+x+x^2)$ ?
2) En effet $G$ est un groupe pour la loi de composition, il y a $6$ valeurs possibles pour $a$ et $7 $ valeurs possibles pour $ b$ donc je dirais que $G$ est d'ordre $42$.
La composition d'application n'est pas commutative donc G n'est pas commutative en général.
3) Si on remplace $G$ par $H$, c'est un sous-groupe de $G$ d'ordre $3\times 7 = 21 $ qui n'est pas abélien
4) et 5) Je n'ai pas trouvé malheureusement
Merci encore pour votre aide -
@Marwanus
Oui, j'ai utilisé la lettre $j$ pour $2$ parce que $j^2 + j + 1 = 0$ dans $\mathbb F_7$. En ce qui concerne l'aspect non commutatif dans 2), ta réponse est insuffisante : il faut FOURNIR deux éléments qui ne commutent pas. Idem pour 3). Orthographe : on dit $G$ non commutatif et pas ``$G$ non commutative''.
Je reviens donc sur 2), 3), 4), 5). Pour $b \in \mathbb F_7$ et $a\in \mathbb F_7^*$, je note :
$$
t_b : x \mapsto x + b, \qquad r_a : x \mapsto ax
$$
si bien que $t_b \circ r_a$ (dans CE sens) c'est $x \mapsto b + ax$. Derrière cette histoire, il y a un produit semi-direct $\mathbb \Z/7\Z \rtimes_\psi \mathbb F_7^*$ où $\psi : \mathbb F_7^* \to \text{Aut}(\Z/7\Z)$ est $a \mapsto r_a$. Si tu n'as pas entendu parler de produit semi-direct, ce n'est pas grave car le groupe des bijections affines peut-être considéré comme une INTRODUCTION au produit semi-direct. Si j'en parle, c'est pour insister sur le sens $t_b \circ r_a$.
A) Pourrais tu mettre $r_{a'} \circ t_{b'}$ sous la forme $t_b \circ r_a$ ?
Groupe $H$ (d'ordre 21). Je note $\tau = t_1 = x \mapsto x+1$ et $\rho = r_2 = x \mapsto 2x$. Pourrais tu écrire les éléments de $H$ sous la forme $\tau^{\rm truc} \circ \rho^{\rm machin}$ ?
Mettre $\rho \circ \tau$ sous cette forme. Note : on a les relations :
$$
\tau^7 = \text{Id}, \qquad \rho^3 = \text {Id}, \qquad \rho \tau = \tau^2 \rho
$$
Tiens, j'ai donné la réponse à plusieurs questions.
C) Idem (si tu as le temps) pour le groupe $G$ d'ordre 42. Il est engendré par $\tau$ et un certain $x \mapsto ax$ à expliciter.
Note (dont tu peux sauter la lecture). Pour former un produit semi-direct, il faut disposer de deux groupes $K, \Gamma$ disons et d'un morphisme $\psi : \Gamma \to \text{Aut}(K)$. On obtient alors un machin noté $K \rtimes_\psi \Gamma$. On peut se souvenir du sens ``$K$ d'abord, $\Gamma$ ensuite'' car il y a une suite exacte dans le même sens :
$$
1 \to K \to K \rtimes_\psi \Gamma \to \Gamma \to 1
$$
Enfin, ça, c'est mon truc. Et même que j'utilisais la lettre $K$ dans l'enseignement pour Kernel ($K$ est en position Kernel, distingué dans le produit semi-direct). Si tu ne comprends pas ces quelques lignes, ce n'est pas grave (et j'ai même précisé que la lecture peut être omise). -
NB : Pour distinguer entre $\ltimes$ et $\rtimes$, on peut se dire que l'action part de $\Gamma$ et va vers (les automorphismes de) $K$.
-
Bonjour
Un autre moyen mnémotechnique pour distinguer entre $\ltimes$ et $\rtimes$ est, à l'instar du produit direct symbolisé par $\times$ et dont les deux facteurs sont distingués, dans le produit semi-direct, la barre verticale se trouve du côté du facteur non distingué.
Pour aider à se remémorer les groupes d'ordre 21, voici leur treillis des sous-groupes.
Alain -
Bonjour,
J'ai beaucoup à apprendre sur les produits semi-directs...
@Claude:
Désolé pour la faute d'orthographe.
On note $\tau_{ab}$ les bijections $ \mathbb F_7 \ni x \mapsto b + ax $
En ce qui concerne la non commutativité de G, voici un contre-exemple:
On a $\tau_{12}\circ \tau_{23}(0) = 5 \neq 0=\tau_{23}\circ \tau_{12}(0)$
En ce qui concerne la non commutativité de H, voici un contre-exemple:
On a $\tau_{21}\circ \tau_{23}(0) = 0 \neq 5=\tau_{23}\circ \tau_{21}(0)$
Par rapport au produit semi-direct, je le connais de manière très superficielle, je sais que cela permet de construire un isomorphisme de $HK$ vers $H\times K$ avec $H\leq G$ et $H \leq G$ quand l'un des deux sous-groupes est distingué dans $G$
A) J'ai trouvé cette relation conditionnée par le fait que a soit inversible, je pense que c'est le cas dans le corps :$\mathbb{F_7}^{*}$
mais je ne suis pas sûr que c'est celle que tu attendais de moi:
$r_{a'} \circ t_{b'}(x)=a^{'}a^{-1}(\tau_b\circ r_a(x) - \tau_b\circ r_a(b^{'}) )=a^{'}a^{-1}(\tau_b\circ r_a(x-b^{'}) ) )$ pour tout $x \in \mathbb{F_7}$
Soit $\tau_{ab} \in H$.
on a $\tau_{ab} = \tau^{b} \circ \rho^{a} $
De même on a $ \rho \circ \tau = \tau^{2} \circ \rho$
Avec cela on obtient un système générateur de H : $ <\tau, \rho>$ qui est d'ordre 21.
Par cardinalité on a donc $H = <\tau, \rho>$
A partir de cela, comment démontrer que ce système générateur n'est pas isomorphe à $\Z/21\Z$?
C) Dès que j'aurais tout compris pour le , pour le temps je trouverai ^^
Merci beaucoup pour ton aide! -
J'en profite pour signaler que 21 est le plus petit cardinal d'un groupe non commutatif d'ordre impair !
-
Bonjour
en fait, "le" groupe d'ordre 21 qui n'est pas commutatif est "le" groupe de Frobenius
ce qui est un cas particulier de
si $p,q$ sont deux nombres premiers avec $p$ divise $q-1$ alors
il n'y a que deux groupes d'ordre $pq$
un est cyclique l'autre est Frobenius -
Bonsoir,
j'ai fait ceci à partir de ce que j'ai lu ici.
Espérant avoir été assez complet hormis le produit semi-direct.
Jean-éric -
Merci beaucoup Vincent, AP et jean-éric pour votre aide.
@jean-éric je regarde l'exo de plus près!
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Bonjour!
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