Groupes non isomorphes d'ordre 21

Un groupe d'ordre 21 est-il nécessairement abélien ? (Le théorème de décomposition ne vaut que pour les groupes abéliens.)

N'y a-t-il pas un morphisme non trivial de $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ vers $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})^*$ ?

Utilisons les moyens modernes :
https://math.stackexchange.com/questions/440792/classifying-groups-of-order-21
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_small_groups#List_of_small_non-abelian_groups

@Marwanus
Nous allons faire intervenir le corps $\mathbb F_7 = \Z/7\Z$ ; je note $j$ l'élément $2$ de ce corps.

(1) Pourquoi l'utilisation de la lettre $j$ (facile mais je donne quand même une indication car c'est la première question : quid de $j^2 + j + 1$ ? de $j^3$ ?).

(2) On considère l'ensemble $G$ des bijections (affines) de $\mathbb F_7$ dans lui-même. Ce sont les bijections $\mathbb F_7 \ni x \mapsto b + ax \in \mathbb F_7$ avec $b \in \mathbb F_7$, $a \in \mathbb F_7^*$. $G$ est un groupe pour la loi de composition, n'est ce pas ? Combien d'éléments ? $G$ est-il commutatif ?

(3) Je considère le sous-groupe $H$ de $G$ constitué des $x \mapsto b + ax$ avec $b \in \mathbb F_7$ et $a \in \langle j\rangle = \{1,j,j^2\}$. Questions analogues aux précédentes en remplaçant $G$ par $H$.

(4) Saurais tu donner un système de 2 générateurs pour $H$ ? Et pour $G$ ?

(5) Pourquoi est ce que j'utilise l'écriture $x \mapsto b + ax$ et pas l'écriture (équivalente) $x \mapsto ax + b$ ?

@Marwanus
Oui, j'ai utilisé la lettre $j$ pour $2$ parce que $j^2 + j + 1 = 0$ dans $\mathbb F_7$. En ce qui concerne l'aspect non commutatif dans 2), ta réponse est insuffisante : il faut FOURNIR deux éléments qui ne commutent pas. Idem pour 3). Orthographe : on dit $G$ non commutatif et pas ``$G$ non commutative''.

Je reviens donc sur 2), 3), 4), 5). Pour $b \in \mathbb F_7$ et $a\in \mathbb F_7^*$, je note :
$$
t_b : x \mapsto x + b, \qquad r_a : x \mapsto ax
$$
si bien que $t_b \circ r_a$ (dans CE sens) c'est $x \mapsto b + ax$. Derrière cette histoire, il y a un produit semi-direct $\mathbb \Z/7\Z \rtimes_\psi \mathbb F_7^*$ où $\psi : \mathbb F_7^* \to \text{Aut}(\Z/7\Z)$ est $a \mapsto r_a$. Si tu n'as pas entendu parler de produit semi-direct, ce n'est pas grave car le groupe des bijections affines peut-être considéré comme une INTRODUCTION au produit semi-direct. Si j'en parle, c'est pour insister sur le sens $t_b \circ r_a$.

A) Pourrais tu mettre $r_{a'} \circ t_{b'}$ sous la forme $t_b \circ r_a$ ?

Groupe $H$ (d'ordre 21). Je note $\tau = t_1 = x \mapsto x+1$ et $\rho = r_2 = x \mapsto 2x$. Pourrais tu écrire les éléments de $H$ sous la forme $\tau^{\rm truc} \circ \rho^{\rm machin}$ ?
Mettre $\rho \circ \tau$ sous cette forme. Note : on a les relations :
$$
\tau^7 = \text{Id}, \qquad \rho^3 = \text {Id}, \qquad \rho \tau = \tau^2 \rho
$$
Tiens, j'ai donné la réponse à plusieurs questions.

C) Idem (si tu as le temps) pour le groupe $G$ d'ordre 42. Il est engendré par $\tau$ et un certain $x \mapsto ax$ à expliciter.


Note (dont tu peux sauter la lecture). Pour former un produit semi-direct, il faut disposer de deux groupes $K, \Gamma$ disons et d'un morphisme $\psi : \Gamma \to \text{Aut}(K)$. On obtient alors un machin noté $K \rtimes_\psi \Gamma$. On peut se souvenir du sens ``$K$ d'abord, $\Gamma$ ensuite'' car il y a une suite exacte dans le même sens :
$$
1 \to K \to K \rtimes_\psi \Gamma \to \Gamma \to 1
$$
Enfin, ça, c'est mon truc. Et même que j'utilisais la lettre $K$ dans l'enseignement pour Kernel ($K$ est en position Kernel, distingué dans le produit semi-direct). Si tu ne comprends pas ces quelques lignes, ce n'est pas grave (et j'ai même précisé que la lecture peut être omise).

Bonjour
Un autre moyen mnémotechnique pour distinguer entre $\ltimes$ et $\rtimes$ est, à l'instar du produit direct symbolisé par $\times$ et dont les deux facteurs sont distingués, dans le produit semi-direct, la barre verticale se trouve du côté du facteur non distingué.

Pour aider à se remémorer les groupes d'ordre 21, voici leur treillis des sous-groupes.
Alain

J'en profite pour signaler que 21 est le plus petit cardinal d'un groupe non commutatif d'ordre impair !

Bonsoir,

j'ai fait ceci à partir de ce que j'ai lu ici.
Espérant avoir été assez complet hormis le produit semi-direct.

Jean-éric