Inégalité olympique

kouassi
kouassi
dans Algèbre
Après plusieurs vaines tentatives de résolution je vous présente le problème suivant:
$ a,b $ et $ c $ sont des réels strictement positif tels que $ abc=1$
Démontrer que (a+1/b)2 + (b+1/c)2 + (c+1/a)2 >= 3(a+b+c+1)

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    C'est grossièrement faux pour $a=b=c=1$.
  • kouassi
    kouassi
    j ai modifié le sujet j avais mis <= c est plutôt >=
    merci de la remarque GaBuZoMeu
  • Chaurien
    Chaurien
    Précisions sur l'origine du problème ? Merci.
  • kouassi
    kouassi
    C'est l'un des exercices d'un test de stages de préparation aux olympiades internationales de mathématiques.
  • Chaurien
    Chaurien
    Plus précisément ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Multiplie le tout à gauche. Minore les termes autres que $a+b+c$. L’inégalité est alors polynomiale de degré deux... en $a+b+c$. Démontre que $a+b+c \geq 3$ : conclus.
  • kouassi
    kouassi
    stage d Avril 2017 organisé par la Société de Mathématique de Côte d' Ivoire à Abidjan
  • Chaurien
    Chaurien
    Bravo et bon courage et meilleurs vœux de succès aux participants ivoiriens.
  • kouassi
    kouassi
    YvesM écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1586062,1586186#msg-1586186
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

    Merci pour l'aide mais je multiplie le tout à gauche par quoi ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    J’aurai du écrire développe à gauche... les facteurs sans élever au carré.
  • kouassi
    kouassi
    Merci YvesM mais la nuit blanche que j' ai passée à travailler m affecte encore
    je me suis encore trompé sur le sujet de base
    Veuillez m excuser je modifie pour la dernière fois
    enfin c est le bon sujet
  • kouassi
    kouassi
    merci de bien vouloir m aider
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Se fait avec Cauchy-Schwarz et toujours avec $x=a+b+c$ et un polynôme de degré deux en $x$ avec $x \geq 3$... si tu cherches cinq minutes, tu trouves. Ou tu ajoutes cinq minutes.
  • Tonm
    Tonm
    Bonsoir, tu peux essayer un simple étude de fonction. Donc choisis $c$ paramètre fixe, $a$ l'inconnue et $b=\dfrac{1}{ac}$.

    Edit ça marche si $c=1$ seulement.
    Joyeux Noël.
  • kouassi
    kouassi
    OUI Enfin j' y suis arrivé
    MERCI
  • Tonm
    Tonm
    Une preuve sans analyse est de développer le terme gauche de l'inégalité et mettre $a^2+b^2+c^2\ge a+b+c$
    $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge 3$
    et avec $abc=1$ enfin prouver que $a^2c+ab^2+bc^2\ge a+b+c$ (facile ? par critère homogenéité?).
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