Idéal principal

Ahlamsmap
Ahlamsmap
dans Algèbre
Bonjour.
Est-ce que quelqu'un peut me donner un exemple d'idéal principal pour que je puisse apprendre la définition. :-(
Merci d'avance.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Un idéal principal de $(\mathbb Z, +,\times)$ : $2\mathbb Z$ (ses éléments sont les entiers relatifs pairs).
  • Math Coss
    Math Coss
    Malgré les apparences, l'ensemble $\{4k+6\ell,\ k,\ell\in\Z\}$ est un idéal principal de $\Z$.
  • Ahlamsmap
    Ahlamsmap
    @math coss
    Les seuls idéaux de Z sont de la forme pZ tel que pour premier.
  • Math Coss
    Math Coss
    Non, tous les idéaux de $\Z$ sont bien principaux mais il y en a d'autres que ceux « de la forme $p\Z$ pour $p$ premier » : lesquels ?
  • Ahlamsmap
    Ahlamsmap
    Ce sont les idéaux maximaux n'est ce pas ?
  • Math Coss
    Math Coss
    Les idéaux $p\Z$ avec $p$ premier sont en effet les idéaux maximaux de $\Z$ (et aussi ses idéaux premiers).
  • Ahlamsmap
    Ahlamsmap
    Est ce qu'on peut dire que l'idéal principal "équivalent" à le groupe cyclique ?
    Car tous les deux sont engendré par un seul élément :-S:-S
    Cordialement
  • Math Coss
    Math Coss
    Oui, il y a un parallèle entre ces deux notions.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Ahlamsap a écrit:
    Est-ce que quelqu'un peut me donner un exemple d'idéal principal pour que je puisse apprendre la définition.

    Pour apprendre la définition, tu n'as pas besoin d'exemples.
  • Ahlamsmap
    Ahlamsmap
    Georges Abitbol,j'ai besoin de quoi alors pour que je puisse l'apprendre par coeur? ??
  • Poirot
    Poirot
    Attention cependant, un idéal principal, bien qu'engendré par un seul élément en tant qu'idéal, n'a aucune raison d'être un groupe cyclique (ni même monogène) en tant que sous-groupe additif de l'anneau dans lequel on travaille. L'idéal engendré par $1$ dans n'importe quel anneau dont le groupe additif sous-jacent n'est pas monogène fournit un contre-exemple, par exemple $\mathbb Q$.

    Il est facile de vérifier que dans l'anneau commutatif $A$, l'idéal engendré par $a \in A$, noté en général $(a)$, est l'idéal $$aA = \{ax, x \in A\}.$$ Un idéal principal est donc toujours l'ensemble des multiples de l'un de ses générateurs. Pour montrer qu'il s'agit bien de l'idéal engendré par $a$ il y a deux choses à vérifier : qu'il s'agit bien d'un idéal contenant $a$, et qu'il s'agit du plus petit tel idéal.
  • Georges Abitbol
    Georges Abitbol
    Ah ben les techniques mnémotechniques, je pense qu'il vaut mieux se les inventer tout seul ou toute seule !
    Ce qui m'inquiète (pour le bon déroulement de ton apprentissage), c'est que je ne sais pas trop ce que tu recherches... Regarde plutôt :
    Ahlamsmap a écrit:
    Est ce qu'on peut dire que l'idéal principal "équivalent" à le groupe cyclique ?

    Le mot "équivalent" a plusieurs sens formels en maths, et a aussi un sens en français. A priori, je ne vois pas quel sens mathématique donner à ta phrase. Et donc, pour moi, elle est du même acabit qu'une phrase qui dirait "je trouve que le mot idéal principal est de couleur bleue ; est-ce que vous trouvez que le mot groupe cyclique a la même couleur ?". Que peut-on te répondre, à part un ressenti subjectif ?
    Je pense que tu gagnerais à essayer de poser des questions plus précises : d'une part, on saurait sous quelle forme tu attends ta réponse, et de l'autre, cela t'aiderait à y voir toi-même plus clair.
  • Ahlamsmap
    Ahlamsmap
    Merci infiniment Georges Abitbol,
    Je vais essayer d'être bien claire la prochaine fois .
    Pour le mots "équivalent"dans ma phrase ben il signifi "parallèle" .
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Ahlamsmap.

    Tu gagnerais beaucoup à lire un vrai cours sur l'algèbre, pour l'instant tu essaies de donner du sens à des notions qui ne sont que des mots pour toi, alors qu'elles s'apprennent facilement dans une présentation structurée. Donc un bon bouquin d'algèbre, ou un cours en pdf que tu trouverais sur Internet.

    Cordialement.
  • Ahlamsmap
    Ahlamsmap
    MERCI MERCI INFINIMENT pour votre temps précieux que vous m'avez consacré.
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