Ordre d'un groupe

Bonjour,

Pardon d'avoir mal tapé hier !

Je voulais dire : $(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z},+)$ un groupe additif. Je voulais comprendre comment trouver quel élément et déterminer son ordre.

Alors si j'écris :

Si $n=20=2^2.5$, donc $\varphi(n)=8$

Je cherche les nombres qui sont premiers avec $n=20$ :
$\{1,3,7,9,11,15,15,17,19\}$ (il doit y avoir un élément à déterminer)

J'ai :

$3^3=27=2 [n]$
$3^4=81=1 [n]$ donc 3 est un élément d'ordre 4
$7^2=49=9 [n]$
$7^3=343=3 [n]$
$9^2=81=1 [n]$ donc 9 un élement d'ordre 2
mais j'ai l'impression d'avoir tout faux car la réponse devrait être $ord(12)=5$ (d'après le cours trouvé sur Internet).

Merci infiniment.

D'accord, Poirot et Zeitnot.

Alors on parle de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\times)$ et non de $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$

Merci.

Alors $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}=\{\overline{0},\overline{1},...,\overline{n-1}\}$ et 5 est l'ordre de 12 car c'est son "inverse" modulo 20 car $12.5=kn=60$ ?

Comment écrire pour trouver la réponse ?

Ok, merci beaucoup