Dimension de Krull d'un anneau de polynômes

Bonsoir
C'est une question un peu naïve, mais je me lance.

Bon, je rappelle ce qu'est la dimension de Krull d'un anneau $A$ : c'est le supremum (dans $\Bbb N \cup\{\infty\}$) des $n\in\Bbb N$ tels qu'il existe une suite $\mathfrak{p_0} \subsetneq \mathfrak{p_1}\subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p_n}$ d'idéaux premiers dans $A$.

Si $k$ est un corps, il y a plusieurs façons de montrer que la dimension de Krull de $k\left[ X_1,\dots,X_n\right]$ est $n$. Ces diverses preuves ne s'obtiennent pas en un claquement de doigts : elles font appel à plusieurs résultats qui demandent un travail préalable.

Je suis capable de les comprendre, mais j'aimerais savoir si vous disposez d'une preuve élémentaire du fait que cette dimension est finie ?
Merci d'avance.