Dimension de Krull d'un anneau de polynômes
Bonsoir
C'est une question un peu naïve, mais je me lance.
Bon, je rappelle ce qu'est la dimension de Krull d'un anneau $A$ : c'est le supremum (dans $\Bbb N \cup\{\infty\}$) des $n\in\Bbb N$ tels qu'il existe une suite $\mathfrak{p_0} \subsetneq \mathfrak{p_1}\subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p_n}$ d'idéaux premiers dans $A$.
Si $k$ est un corps, il y a plusieurs façons de montrer que la dimension de Krull de $k\left[ X_1,\dots,X_n\right]$ est $n$. Ces diverses preuves ne s'obtiennent pas en un claquement de doigts : elles font appel à plusieurs résultats qui demandent un travail préalable.
Je suis capable de les comprendre, mais j'aimerais savoir si vous disposez d'une preuve élémentaire du fait que cette dimension est finie ?
Merci d'avance.
C'est une question un peu naïve, mais je me lance.
Bon, je rappelle ce qu'est la dimension de Krull d'un anneau $A$ : c'est le supremum (dans $\Bbb N \cup\{\infty\}$) des $n\in\Bbb N$ tels qu'il existe une suite $\mathfrak{p_0} \subsetneq \mathfrak{p_1}\subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p_n}$ d'idéaux premiers dans $A$.
Si $k$ est un corps, il y a plusieurs façons de montrer que la dimension de Krull de $k\left[ X_1,\dots,X_n\right]$ est $n$. Ces diverses preuves ne s'obtiennent pas en un claquement de doigts : elles font appel à plusieurs résultats qui demandent un travail préalable.
Je suis capable de les comprendre, mais j'aimerais savoir si vous disposez d'une preuve élémentaire du fait que cette dimension est finie ?
Merci d'avance.
Réponses
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Décidément, l'ombre de Claude n'est jamais loin :-D
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Merci, c'est éclairant.
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Je n'ai pas le temps de rédiger une réponse détaillée, mais il y a un résultat général qui énonce que pour tout anneau commutatif $R$, on a $\mathrm{dim}(R[X]) \leq 2 \mathrm{dim}(R) + 1$. La finitude de $\mathrm{dim}(K[X_1, .., X_n])$ s'en déduit immédiatement par récurrence sur $n$.
Concernant le résultat cité, on peut montrer que pour tout idéal premier $P$ de $R$, les chaînes d'idéaux premiers dans $R[X]$ qui se contractent sur $P$ sont de longueur au plus $1$. Cela se déduit en localisant en $P$ (et en utilisant le fait que $(\mathrm{Frac}(R_P))[X]$ est principal). -
Je mentionne l'existence du document A Short Proof for the Krull Dimension of a Polynomial Ring par Thierry Coquand et Henri Lombardi, paru dans The American Mathematical Monthly, Vol. 112, No. 9 (Nov., 2005), pp. 826-829.
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Ce document a déjà été mis en lien il y a six mois par Lupulus.
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