Remède à une insomnie

soland
soland
dans Algèbre
Résoudre sur $\mathbb{R}$
$$
(x+y+1)^2+\frac{1}{3} \geq xy
$$

Réponses

  • Dom
    Dom
    J'ai tenté une réduction de Gauss, et si je ne me suis pas trompé, j'obtiens que c'est équivalent à une somme de carrés positive. La solution serait alors $S=\mathbb R^2$.

    Quels que soient les réels $x$ et $y$ : $$(x+y+1)^2+\frac{1}{3} \geq xy
    \iff \Big(x+\dfrac{y}{2}+1\Big)^2+\Big(\dfrac{\sqrt{3}y}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\Big)^2\geq 0$$
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Sur $\R$, $(3 x+ 3 y +4)^2 +3 (x-y)^2 \geq 0 \iff (x+y+1)^2+1/3 \geq xy.$
    Indication : poser $u=x+y, v=x-y$ et écrire $4xy=u^2-v^2.$
  • soland
    soland
    Entre autres possibilités :70942
  • Dom
    Dom
    Certes.
    Même si c'est "connu" la dernière forme $u^2+uv+v^2$ ne permet pas de conclure, disons ne permet pas de convaincre tout le monde...
  • killersmile38
    killersmile38
    [Mode mauvaise foi ON]

    Bah si, tout le monde sait par coeur ou voit immédiatement que : $u^2+uv+v^2=\vert u-vj\vert^2\geq 0 $ :-D

    [Mode mauvaise foi OFF]
  • Dom
    Dom
    (tu)
  • soland
    soland
    $(u^2+(u+v)^2+v^2)/2=$...
  • Chaurien
    Chaurien
    Remarquons que c'est juste une application de la forme canonique du trinôme du second degré. Et donc que ce serait faisable au lycée, avec des élèves normaux. En première je pense.
  • Dom
    Dom
    Et connaissant le théorème d'inertie de Sylvester, on sait que quelle que soit la méthode utilisée (en terme de réduction de Gauss), on obtiendra une somme de deux carrés. Avec un public averti, c'est même du programme de 2nde. Un prof appeler cela "compléter le carré".
    Mais c'est bien en première, je suis d'accord, que cela semble le plus pertinent.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7

GGPetit Gaulois +5 Invités