Endomorphisme diagonalisable

anthomedal · December 2017

Bonjour à tous

Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$ et $f$ un endomorphisme de $E$ qui vérifie $f^3=f^2+2f$, j'ai vu que les valeurs propres possibles de $f$ sont $0,-1,2$, j'ai vu également que $f$ est diagonalisable, car il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples, à savoir $X^3-X^2-2X$, j'aimerais montrer que $E$ est la somme directe de $\ker(f),\ \ker(f+id),\ \ker(f-2id)$, je sais que comme $f$ est diagonalisable, ses sous-espaces propres sont en somme directe, donc je dois montrer que les valeurs propres possibles sont en fait les valeurs propres de $f$ (en tout cas j'aimerais faire comme ça), une solution est donc de montrer que $X^3-X^2-2X$ est le polynôme minimal de $f$ et je ne sais pas comment faire...
Merci d'avance !

Maxtimax · December 2017

$X^3-X^2 - 2X = X(X+1)(X-2)$. Connais-tu le lemme des noyaux ?

anthomedal · December 2017

Ah mais oui, je n'y avais pas pensé ! Sinon aurait-on pu dire que $X^3-X^2-2X$ n'est divisible que par $X$ , $X+1$ , et $X+2$ et qu'aucun de ces derniers n'est annulateur de $f$, faisant du premier le polynome minimal ?

GaBuZoMeu · December 2017

Qu'est-ce qui te dit que $f$ n'est pas l'endomorphisme nul, par exemple ? Y a-t-il une hypothèse que tu nous as cachée ?

anthomedal · December 2017

Non il n'y a pas d'hypothèses effectivement, il pourrait être nul. Merci bien !

GaBuZoMeu · December 2017

Remarque : même si $f$ est nul, $E$ est bien somme directe de $\ker(f)$, $\ker(f+\mathrm{Id}_E)$ et $\ker(f-2\,\mathrm{Id}_E)$.

Juggleforlife · December 2017

Attention. Rien ne dit que c'est le polynôme minimal et c'est presque sûrement faux en fonction de f. Typiquement anthomedal le polynôme minimal pourrait bien être X(X+1) sans contredire le lemme des noyaux ni ce qu'il t'est demandé de prouver.

killersmile38 · December 2017

Exemple concret pour illustrer la remarque de Juggle: $f=Id_E.$

De manière générale, si $P\in K[X]$ annule $f$, alors $Sp_K(f)$ est contenu dans l'ensemble des racines de $f$, mais l'inclusion n'a aucune raison d'être une égalité.