Notion catégorique récurrente

Bonjour Nîmes-man et merci pour ton intéret.
Je ne voulais pas donner des exemples dès le début pour ne pas alourdir le premier message et attirer les "esprits catégoriques purs" mais en voici:

Avant de commencer, trois remarques:

A) Lorsque $(i)$ et $(ii)$ sont satisfaites, on peut voir que $c \mapsto c_P$ est un foncteur essentiellement surjectif de la sous-catégorie de $\mathcal{C}$ dont les morphismes sont les monomorphismes vers la sous-catégorie pleine des objets $P$-maximaux.
En effet pour tout monomorphisme $f: c \rightarrow c'$ dans $\mathcal{C}$, on a un monomorphisme $\varphi_{c'} \circ f: c \rightarrow c'_P$ où $c'_P$ est $P$-maximal, donc on a d'après $(ii)$ une unique flèche $f_P: c_P \rightarrow c'_P$ avec $f_P \circ \varphi_c = \varphi_{c'} \circ f$.
On peut voir que pour $c' = c$ et $f= 1_c$ que $(1_c)_P = 1_{c_P}$.
Pour un deuxième monomorphisme $g: c' \rightarrow c''$, on a $g_P \circ \varphi_{c'} = \varphi_{c''} \circ g$ donc $g_P \circ f_P \circ \varphi_c = g_P \circ \varphi_{c'} \circ f = \varphi_{c''} \circ (g \circ f)$ d'où $(g \circ f)_P = g_P \circ f_P$ par unicité. Je dirai que ce foncteur est le foncteur associé à $P$.

Le caractère essentiellement surjectif s'obtient en remarquant que lorsque $c$ est $P$-maximal, $\varphi_c^{-1}$ est un isomorphisme $c_P \rightarrow c$.

Il n'y a pas de raison sans structure supplémentaire que $c \mapsto c_P$ soit un foncteur pour $\mathcal{C}$, mais c'est le cas dans les exemples que j'ai, même ceux pour lesquels les morphismes ne sont pas tous des mono. Je ne sais pas trop pourquoi à vrai dire.


Si $P$ est stable par composition au sens où si les extensions $c \rightarrow c'$ et $c' \rightarrow c''$ satisfont $P$ alors leur composition aussi, alors $(iii)$ se déduit de $(ii)$.
En effet si $f: c \rightarrow c'$ est un $P$-monomorphisme, alors $\varphi_{c'} \circ f: c \rightarrow c'_P$ est un $P$-monomorphisme où $c'_P$ est $P$-maximal, donc d'après $(ii)$ en cette extension, il existe un unique morphisme $g: c'_P \rightarrow c_P$ avec $g \circ \varphi_{c'} \circ f = \varphi_c$, et $h :=g \circ \varphi_{c'}$ est l'unique morphisme $c' \rightarrow c_P$ à satisfaire $h \circ f = \varphi_c$.
Je ne vois pas de raison que $(ii)$ se déduise de $(iii)$ dans les mêmes conditions.



C) On peut noter que je n'ai utilisé pour A) et la définition de $P$-maximalité que pour justifier que le foncteur associé était essentiellement surjectif, et que pour le reste j'aurais pu remplacer la $P$-maximalité par le fait que les $c_P$ soient dans une sous-catégorie pleine donnée $\mathcal{P}$ de $\mathcal{C}$.

Cependant, si $P$ est stable par composition, alors les objets de $\mathcal{P}$ doivent être $P$-maximaux.
En effet, si $f: c_P \hookrightarrow x$ est un $P$-monomorphisme, alors $f \circ \varphi_c$ aussi donc d'après $(iii)$ appliqué à $(c,f \circ \varphi_c,\varphi_c)$, on a un unique morphisme $g: x \rightarrow c_P$ tel que $g \circ f \circ \varphi_c = \varphi_c$.
$g \circ f$ est alors un morphisme $c_P \rightarrow c_P$ tel que $g \circ f \circ \varphi_c = \varphi_c$, d'où par unicité dans $(iii)$ en $(c,\varphi_c,\varphi_c)$, $g \circ f = 1_{c_P}$.
$h:=\varphi_x \circ f \circ g: x \rightarrow x_P$ est un morphisme satisfaisant $h \circ f = \varphi_x \circ f$, donc $(iii)$ en $(x,f,\varphi_x \circ f)$ donne $h = \varphi_x$, et $\varphi_x$ étant un monomorphisme, $f \circ g = 1_x$, donc $f$ est un isomorphisme.




Pour ce qui est des exemples, je les fais façon baccalauréat en quatre catégories (à d'autres de remplir les lignes pour tout l'alphabet):

objets / morphismes / propriété P / foncteur associé


$(i)$: Groupes abéliens sans torsion / morphismes de groupe / extension "linéaire" (tout élément composé avec lui-même un certain nombre de fois est dans l'image) / enveloppe divisible

$(ii)$: Anneaux commutatifs unitaires intègres / morphismes d'anneaux / extension dont les éléments sont de degré 1 / corps des fractions

$(iii)$: Corps ordonnés / morphismes de corps croissants / extension algébrique / clôture réelle

$(iv)$: Corps ordonnés / morphismes de corps croissants et cofinals / extension dense / Cauchy-complétion

$(v)$: Corps valués d'équicaractéristique nulle / morphismes de corps valués / extension algébrique immédiate / hensélisé



Pour finir, je sais que $(i)$ ne suffit pas même pour $P$ stable par composition et succeptible d'une application du lemme de Zorn, puisque par exemple ça ne fonctionne pas pour la qualité d'extension algébrique de corps.

Maxtimax, il est bien plus sûr en général de penser que je ne connais pas une notion catégorique!