Polynôme irréductible.

Bonjour elb,

pour revenir à la question initiale, vois-tu pourquoi ton polynôme est irréductible ?

elb a écrit:

j'ai encore un peu de mal à me convaincre que des fonctions polynomiales identiques n'impliquent pas que les polynômes sont égaux.

C'est pourtant clair lorsqu'on revient à la construction de l'anneau des polynômes.

Le polynôme $P=\sum_n a_n X^n$, c'est en fait la suite $(a_n)_{n\geq 0}$ à coefficients dans $K$. C'est donc la fonction $P: n\in \mathbb{N}\mapsto a_n\in K$

La fonction polynomiale associée c'est $\widetilde{P}:t\in K\mapsto \sum_n a_n t^n\in K$. Deux objets de nature complètement différente.

L'exemple clair de Poirot te montre qu'en général, l'application $P\mapsto \widetilde{P}$ n'est pas injective. Je ne vois pas ce qu'il faut de plus pour te convaincre ?

Un autre exemple peut-être ? Si $K=\mathbb{F}_2$ et $P=X^2-X$, alors $\widetilde{P}=0$, qui est aussi l'application polynomiale associée au polynôme nul.

Il est dommage qu'on ait refoulé les corps finis de l'enseignement, jusqu'à bac+2, du moins en classes préparatoires, alors qu'à mes débuts, on travaillait dans les $\mathbb Z/ n \mathbb Z$ en sixième !
Tant qu'on considère les polynômes sur un corps commutatif infini, on peut allègrement confondre le polynôme formel et la fonction polynôme associée. Mais si l'on se place sur un corps fini, la fonction nulle ne correspond pas nécessairement au polynôme nul, comme il est bien connu.

En fait, il faut démontrer le théorème suivant.Soit $n\in \mathbb{N}$, soit un corps commutatif $K$ et soient $a_{0}$, $a_{1}$, ..., $a_{n}$ des éléments de $K$. Soit l'application $\displaystyle x\mapsto P(x)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{k}x^{k}$, de $K$ dans $K$. Soient $\xi
_{1}$, $\xi _{2}$, ..., $\xi _{n+1}$, des éléments de $K$, distincts. Si $P(\xi _{1})=P(\xi _{2})=...=P(\xi _{n+1})=0$, alors : $a_{0}=a_{1}=...=a_{n}=0$.Je l'ai énoncé volontairement en ne parlant pas de polynôme, ni formel, ni fonction, ni bien sûr de degré. Ce théorème est vrai dans tout corps, fini ou non, mais s'il est fini il doit avoir au moins $n+1$ éléments pour que l'hypothèse du théorème soit vérifiée.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
30/12/2017
[Saint Roger]

Bonsoir,

Bonne fête de ma part également.

Cordialement,

Rescassol

Bonsoir,

Est il exact que:
1) Sur un corps commutatif $\mathbb{K}$, il y a isomorphisme entre les polynômes formels et les fonctions polynômes.
2) $\mathbb{K}$ est infini.

sont deux propositions équivalentes ?

Cordialement,

Rescassol

@ Rescassol
Autre formulation.
Sur tout corps commutatif $K$, l'application qui à un polynôme formel associe son polynôme-fonction est toujours un morphisme d'anneaux. Les polynômes formels ont été fabriqués justement pour ça.
Si le corps est infini, le théorème que j'ai énoncé montre que le noyau se réduit à $\{0\}$.
Si le corps est fini, ce noyau contient le polynôme produit des $X- \xi $, où $\xi$ décrit ce corps.
Bonne soirée.
Fr. Ch.