Polynôme irréductible.
D'après moi, dans Z/2Z[X] on a:
X4 + X + 1 = X + X + 1 = 2 X + 1 = 1
J'applique le théorème de Fermat: ( X2 )2 = X2 = X
Donc ce polynôme ne peut pas être un irréductible de Z/2Z[X]
Or c'est le cas d'après la correction du Gourdon, dans laquelle je ne vois pas d'erreur non plus (ex 11 p 69)
Je ne vois pas où est mon erreur sur ce raisonnement.
X4 + X + 1 = X + X + 1 = 2 X + 1 = 1
J'applique le théorème de Fermat: ( X2 )2 = X2 = X
Donc ce polynôme ne peut pas être un irréductible de Z/2Z[X]
Or c'est le cas d'après la correction du Gourdon, dans laquelle je ne vois pas d'erreur non plus (ex 11 p 69)
Je ne vois pas où est mon erreur sur ce raisonnement.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
pour revenir à la question initiale, vois-tu pourquoi ton polynôme est irréductible ?
Je vois mais j'ai encore un peu de mal à me convaincre que des fonctions polynomiales identiques n'impliquent pas que les polynômes sont égaux.
Bon c'est juste que K[X] et l'espace des fonctions polynomiales de K dans K ne sont pas isomorphes (problème évident pour l'injectivité dans ce cas) mais ça m'empêche pas de me faire des nœuds au cerveau depuis ce matin.
@Zeitnot
Oui, ça c'est bon, raisonnement par l'absurde en le supposant réductible et on arrive à une contradiction sur les coefficients. Le problème c'est que j'avais deux démonstrations avec des conclusions différentes.
En tous cas merci pour votre aide, je pense avoir tout en main pour m'en sortir.
C'est pourtant clair lorsqu'on revient à la construction de l'anneau des polynômes.
Le polynôme $P=\sum_n a_n X^n$, c'est en fait la suite $(a_n)_{n\geq 0}$ à coefficients dans $K$. C'est donc la fonction $P: n\in \mathbb{N}\mapsto a_n\in K$
La fonction polynomiale associée c'est $\widetilde{P}:t\in K\mapsto \sum_n a_n t^n\in K$. Deux objets de nature complètement différente.
L'exemple clair de Poirot te montre qu'en général, l'application $P\mapsto \widetilde{P}$ n'est pas injective. Je ne vois pas ce qu'il faut de plus pour te convaincre ?
Un autre exemple peut-être ? Si $K=\mathbb{F}_2$ et $P=X^2-X$, alors $\widetilde{P}=0$, qui est aussi l'application polynomiale associée au polynôme nul.
D'ailleurs j'étais en train d'y penser et je me répondais à moi même juste en dessous de la phrase que tu cites :-D
Tant qu'on considère les polynômes sur un corps commutatif infini, on peut allègrement confondre le polynôme formel et la fonction polynôme associée. Mais si l'on se place sur un corps fini, la fonction nulle ne correspond pas nécessairement au polynôme nul, comme il est bien connu.
En fait, il faut démontrer le théorème suivant.Soit $n\in \mathbb{N}$, soit un corps commutatif $K$ et soient $a_{0}$, $a_{1}$, ..., $a_{n}$ des éléments de $K$. Soit l'application $\displaystyle x\mapsto P(x)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}a_{k}x^{k}$, de $K$ dans $K$. Soient $\xi
_{1}$, $\xi _{2}$, ..., $\xi _{n+1}$, des éléments de $K$, distincts. Si $P(\xi _{1})=P(\xi _{2})=...=P(\xi _{n+1})=0$, alors : $a_{0}=a_{1}=...=a_{n}=0$.Je l'ai énoncé volontairement en ne parlant pas de polynôme, ni formel, ni fonction, ni bien sûr de degré. Ce théorème est vrai dans tout corps, fini ou non, mais s'il est fini il doit avoir au moins $n+1$ éléments pour que l'hypothèse du théorème soit vérifiée.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
30/12/2017
[Saint Roger]
Bonne fête de ma part également.
Cordialement,
Rescassol
Est il exact que:
1) Sur un corps commutatif $\mathbb{K}$, il y a isomorphisme entre les polynômes formels et les fonctions polynômes.
2) $\mathbb{K}$ est infini.
sont deux propositions équivalentes ?
Cordialement,
Rescassol
Autre formulation.
Sur tout corps commutatif $K$, l'application qui à un polynôme formel associe son polynôme-fonction est toujours un morphisme d'anneaux. Les polynômes formels ont été fabriqués justement pour ça.
Si le corps est infini, le théorème que j'ai énoncé montre que le noyau se réduit à $\{0\}$.
Si le corps est fini, ce noyau contient le polynôme produit des $X- \xi $, où $\xi$ décrit ce corps.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Pour désigner quelque chose qui dure tout le temps, on dit « du premier janvier à la Saint Sylvestre », d'où la célébrité des Sylvestre. Et on oublie toujours l'avant-dernier, Roger. Encore une injustice à réparer ;-).