Questions sur les p-Sylow

Les $2$-Sylow (resp. les $3$-Sylow) n'ont pas de raison a priori d'avoir une intersection triviale car leur cardinal n'est pas $2$ (resp. $3$).

En effet, le groupe $S$ engendré par $s_1=(1,2)(5,6)$, $s_2=(1,2)(3,4)$ et $s_3=(1,3)(2,4)$ est un $2$-Sylow de $\mathscr{A}_6$. Si on le conjugue par $g=(1,3)(5,6)$, on a : $|S\cap gSg^{-1}|=4$ ; si on le conjugue par $h=(1,5,2,4,6)$, on a : $|S\cap hSh^{-1}|=2$. (Exemples trouvés avec Sage donc sans réfléchir.)

Comptage : il y a dans $\mathscr{A}_6$ :

• $1$ éléments d'ordre $1$ ;
• $45$ éléments d'ordre $2$ ;
• $90$ éléments d'ordre $4$ ;
• $80$ éléments d'ordre $3$ ;
• $144$ éléments d'ordre $5$.

Cela fait $136$ éléments dans la réunion des $2$-Sylow ($81$ pour les $3$-Sylow).

Questions supplémentaires... Pour un $2$-Sylow $S$ (ou un $3$-Sylow $T$) combien y a-t-il de $2$-Sylow qui ont une intersection d'ordre $1$, $2$ ou $4$ (resp. $1$ ou $3$) avec $S$ ? Si on fixe $S$ (ou $T$) est $i\in\{1,2,4\}$ (ou $i\in\{1,3\}$), est-ce que tous les Sylow $S'$ tels que $|S\cap S'|=i$ sont conjugués ?

Edit : Pour le comptage des éléments selon leur ordre, j'ai utilisé Sage mais on peut le faire à la main en énumérant les classes de conjugaison. Par exemple, un élément d'ordre $2$ est une double transposition, il y a $\binom{6}{4}$ façons de choisir les quatre éléments qui bougent et, ce choix étant fait, $3$ doubles transpositions, d'où $15\times3$ éléments d'ordre $2$.

Les éléments d'ordre divisant $8$ engendrent chacun des $2$-sous-groupes et chacun de ces sous-groupes est inclus dans un $2$-Sylow.