Notation exponentielle et forme trigo

Pas d'accord Poirot.
Je me suis même cassé la tête pour le justifier [ici].

Bonsoir,

Cf. ceci.

Cordialement,

Thierry

Tout dépend à quel niveau on se place et ce qui est dans le cours. C'est ce que Nemya devrait nous préciser. Comm' d'hab'

Z'avez-vu une justification de cette formule dans l'enseignement secondaire depuis 50 ans? Moi pas.

Tu remplaces dans la formule $\text{e}^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ , $\text{e}^{i\theta}$ par $\text{2}^{i\theta}$ et cela ne perturbe pas l'usage qu'on fait de cette formule en Terminale S.

Une discussion récente parlait de cela et je ne la retrouve pas.
C'était justement le débat : prouver par récurrence ou non les formules liées à cette notation...

@Fin de partie
En effet, changer $e$ en $2$ revient au même pour les premières applications.
À la limite on se demande s'il ne faudrait pas inventer une autre lettre que $e$ pour faire comprendre que ce n'est qu'une notation commode (c'est rhétorique, je ne le conseille pas).
Par contre, en dérivant (si on s'y autorise, je sais bien) on peut même retomber sur nos pieds, avec $e$.

Il est hors de question d'enseigner une chose qui n'est pas vraie comme $2^{i \theta}=\cos \theta + i\sin \theta$.

Bonjour,

Voici mes souvenirs de plus de trente ans... On définit le plan cartésien $(x,y)$, puis le plan complexe $z=x+iy.$ On considère un point du cercle unité. Ses coordonnées sont $\cos \theta + i \sin \theta.$ On définit la fonction $f: \theta \mapsto \cos \theta + i \sin \theta.$ On établit une équation différentielle vérifiée par $f$ : $y' - i y=0$ avec la condition initiale $f(0)=1.$ On trouve l'unique solution : $f(\theta) = e^{i \theta}.$ On introduit ainsi la 'notation' : $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta.$
C'est l'introduction d'un nombre complexe dans l'équation différentielle qui est veulue, mais on justifie la 'notation'...

Je dis qu'on pourrait le faire en TS en posant, pour tout $z$ complexe, (après avoir montré la convergence de la suite) $$e^z=\lim(1+z/n)^n.$$ Je dis aussi qu'on pourrait très bien expliquer la limite d'une suite convergente de complexes à l'aide d'un petit dessin, ce qui est beaucoup moins obscur à mon sens que balancer la formule d'Euler ex nihilo.
Je dis aussi que malheureusement, je ne présente pas les choses de cette manière-là à mes élèves et qu'à la place, je pipote !

Si tu poses cette définition de exp(z) pour $z$ complexe tu as l'obligation de montrer que les valeurs de cette fonction prises pour les valeurs réelles sont les mêmes que celles prises par la fonction exponentielle définie sur l'ensemble des réels, par ailleurs, dans tous les cours de Terminale S.

PS:
La vraie question est plutôt comment à partir de cette définition on redémontre les équations fonctionnelles de la fonction exponentielle. Ce n'est pas parce qu'elle coïncide pour les valeurs réelles avec la fonction usuelle exponentielle qu'on a le droit, à priori, d'étendre à tout nombre complexe une relation fonctionnelle qui n'est vraie que pour des valeurs réelles.

J'ai écrit trop vite. La preuve que je demandais initialement est accessible au niveau terminale S mais il y a le problème de l'extension des propriétés de la fonction exponentielle définie sur l'ensemble des réels à tout nombre complexe.

Cette discussion tourne littéralement en rond. Pour en sortir, il faut décider d'un point de départ (ce qu'on démontre ou ce qu'on admet) et d'une ligne (au sens de « ligne politique », presque).

Ce morceau de preuve de Nemya consiste à comparer la fonction exponentielle et les fonctions trigonométriques : cela sous-entend que l'on sait définir indépendamment l'une et les autres. Comme le sous-entend YvesM, cela peut passer par les équations différentielles, les fonctions exponentielles étant les solutions de $y'=\alpha y$ et les fonctions trigonométriques, de $y''+y=0$. C'est possible et ce n'est pas la seule façon de procéder. FdP prend ça comme une aberration parce qu'il pense que la définition de l'exponentielle complexe, il rejoint la première réponse de Poirot qui est une façon classique d'introduire l'exponentielle complexe : c'est possible aussi, ce n'est pas la seule façon de procéder. Le texte de Thierry Poma propose plusieurs points de vue, l'inconvénient c'est qu'il est un peu long.

Nemya, puisque c'est toi qui es à l'origine de ce fil, dis-nous : (qu')est-ce que tu connais de la fonction exponentielle ? des fonctions trigonométriques ? Et peut-être, pour commencer, à quel niveau es-tu ? terminale ? première année après bac ? autre ?

À dire vrai, je ne l'avais pas lue. Et après l'avoir lue, telle quelle, non, je ne l'aime pas parce qu'elle présuppose qu'on connaît l'argument d'un complexe, alors qu'à mon avis, le but de l'exponentielle, c'est de construire l'argument proprement. D'autre part, elle ne m'a pas l'air de permettre de montrer la formule d'addition facilement.

Mais ce qui est démontré est intéressant, de sorte que je renverserais volontiers la présentation : définir l'exponentielle de façon apparemment arbitraire en posant $\exp(\mathrm{i}\alpha)=\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha$ pour tout $\alpha$ réel, puis déduire ce qui est nécessaire sur l'argument, enfin montrer que la notation est une bonne notation pour au moins deux raisons : la transformation des sommes en produits comme pour l'exponentielle réelle (grâce aux formules d'addition des fonctions trigonométriques) et le fait que $\exp(x)\exp(\mathrm{i}y)=\lim_{n\to\infty}\bigl(1+\frac{x+\mathrm{i}y}{n}\bigr)^n$.

@Math Coss : Si tu lis bien ma prose, tu t'apercevras que j'ai aussi montré (c'était l'objectif) que pour tout $y$ réel, $$e^{iy}=\cos y+i\sin y,$$ ce qui permet ensuite d'en déduire toutes les relations fonctionnelles de $\exp$ dans $\mathbb C$ sans problème.

Et bien, Chaurien, regarde [ceci] et j'accepterai très volontiers tes critiques.

@FDP : J'attends aussi des critiques de ta part, mais peut-être pas juste un bof. B-)-

$$z=\rho(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$$ se fait sans aucun problème en TS puisque c'est juste l'expression de l'affixe d'un point du plan ($\neq O$) à l'aide de ses coordonnées polaires.
Cela permet de définir module et argument (à $2\pi$ près) d'un nombre complexe non nul.
C'était un prérequis dans la discussion avec Rouletabille.

Puis mon idée était de prolonger à $\mathbb C$ l'identité sur $\mathbb R$ $$e^x=\lim(1+x/n)^n.$$
Et ça marche ! Avec en prime l'identité d'Euler.
Mais je veux bien admettre que c'est difficilement présentable devant des lycéens, même devant un très bon public. :-S

En tout cas, je crois qu'on est tombé d'accord. ;-)