Groupes engendrés par une partie

marwanus · January 2018

Bonjour la communauté,

Petite question liée aux groupes engendrés par une partie comme vous pouvez le voir dans le fichier attaché.

J'ai un problème avec cette définition de mon cours, au niveau de la construction par l'intérieur.
Il me semble qu'il manque l'élément neutre:

$ E \cup E^{-1} = \{e_1. ...e_n, ,\in \N, e_i \in E \cup E^{-1}\cup \{e\}\}$

Merci beaucoup à vous! 71044

GaBuZoMeu · January 2018

L'extrait de ton cours est correct, par contre ce que tu écris ne l'est pas (coquille en écrivant $E\cup E^{-1}$ ?).
Soit $x\in E$ (supposé non vide). Alors $e=xx^{-1}\in EE^{-1}$
On pourrait aussi argumenter en considérant $n=0$ (produit indexé par l'ensemble vide = élément neutre).

zeitnot · January 2018

Bonjour,
je pense que tu confonds
$ E \cup E^{-1} $ et $E E^{-1}$.

Je laisse les vrais spécialistes confirmer ou non.

Lupulus · January 2018

La convention sans doute utilisée est que le mot vide soit l'élément neutre.

gb · January 2018

Bonjour,

Que vaut $e_1\dotsm e_n$ lorsque $n$ est nul ?

zeitnot · January 2018

GaBuZoMeu a répondu pendant que je tapais ma réponse.

marwanus · January 2018

OK donc on est d'accord sur le fond!
@GaBuZoMeu, ce n'était pas une coquille. Dans le cours, si on s'arrêtait à dire que $EE^{-1}$ engendre un sous-groupe, j'aurais compris que le neutre y était...
Mais en effet l'indexation à partir du 1 peut sous-entendre que $e_0$ est le neutre...

Merci à tous!