Représentation linéaire
Bonjour à tous
Je suis en train de lire un cours sur les représentations linéaires (sur un $\C$-ev) des groupes finis et j'ai plusieurs questions.
1. Une proposition que j'ai retrouvée plusieurs fois stipule que Toute représentation irréductible (simple) W de G (le groupe fini) apparaît dans la représentation régulière de G avec une multiplicité égale à dim(W).
Je ne comprends pas trop le sens . Veut-on dire que dans la décomposition en irréductibles de la régulière il y a dim(W) sous-représentations isomorphes à W.
2. Est-ce que toutes les sous-représentations de la régulière sont de dimension 1 ?
Si la réponse est positive à la première question la réponse à celle-ci est négative.
Dans le cours que je suis on mélange sans cesse égalité et isomorphisme ce qui est assez casse-pied.
Je vous remercie d'avance.
Je suis en train de lire un cours sur les représentations linéaires (sur un $\C$-ev) des groupes finis et j'ai plusieurs questions.
1. Une proposition que j'ai retrouvée plusieurs fois stipule que Toute représentation irréductible (simple) W de G (le groupe fini) apparaît dans la représentation régulière de G avec une multiplicité égale à dim(W).
Je ne comprends pas trop le sens . Veut-on dire que dans la décomposition en irréductibles de la régulière il y a dim(W) sous-représentations isomorphes à W.
2. Est-ce que toutes les sous-représentations de la régulière sont de dimension 1 ?
Si la réponse est positive à la première question la réponse à celle-ci est négative.
Dans le cours que je suis on mélange sans cesse égalité et isomorphisme ce qui est assez casse-pied.
Je vous remercie d'avance.
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Réponses
oui c'est exactement ça.
Edit : non ce n'est pas tout a fait ça. Si c'est bon, mais il faut faire attention qu'il n'y a pas seulement dim(W) sous-représentation isomorphe à $W$. mais dans chaque décomposition en irréductible il y a $\dim(W)$ copie de $W$.
2/ c'est contradictoire avec la 1/ ce que tu dis. (sauf si toutes les représentations irréductibles sont de degré $1$).
Un exemple de base est le groupe $S_3$ qu'il faut un peu décortiquer i.e mettre en action les pages 35 - 36 (et avant) de Serre. C'est un peu lourd si tu suis à la lettre mais ça fonctionne bien.
Mais il reste certaines choses pas trop claires.
1. Ton edit c'était seulement pour souligner qu'il n'y a pas d'unique décomposition de la régulière?
2. Comment prouve-t-on cette proposition, elle est citée comme corollaire du fait que dans une décomposition en irréductibles de la régulière la "multiplicité" d'une sous-représentation irréductible est égale à sa dimension.
Je ne vois pas comment faire la déduction.
3. Y a-t-il pour un groupe fini donné un majorant du nombre de sous-représentations simples ? à isomorphisme près ?
Merci d'avance.
2) Si $G$ n'est pas abélien, il admet des représentations simples de dimension $>1$.
Peut-être peut-on prendre un exemple ? Pour $G=\mathfrak{S}_3$, le « groupe du triangle » (pourquoi ?). Voici une base de l'algèbre de groupe, avec des notations qui devraient s'expliquer toutes seules : $(e_{()},e_{(123)},e_{(132)},e_{(12)},e_{(13)},e_{(23)})$.
3. Le nombre de représentations complexes simples d'un groupe fini à isomorphisme près est égal au nombre de classes de conjugaison du groupe. La décomposition de la représentation régulière est en général une étape utile pour le démontrer.
NB : Pas d'apostrophe après le « y » dans « il y a » ou « y a-t-il » ; pas d'apostrophe après le « t » dans les formes interrogatives « y a-t-il » ou « prouve-t-on » car c'est un « t » euphonique, qui n'a pas de valeur sémantique, alors qu'une apostrophe signalerait la suppression d'une lettre, un « e », comme dans « je t'en donne », où « t' » vient de « te ».
$$
W = \bigoplus_{i=1}^m U_i \qquad (\star)
$$
On va regrouper les $U_i$ selon la classe d'isomorphisme de représentation irréductible (i.e suivant les caractères). Formellement, sur l'ensemble $ \text{U} := \{ U_1,\dots,U_m\}$ on introduit la relations d'équivalences $U_i \simeq U_j$ si et seulement si $\chi_{\rho_{\mid U_i}} = \chi_{\rho_{\mid U_j}}$ et on prend la partition de $\text{U}$ associée à cette relation d'équivalence : on écrit, pour tout caractère irréductible $\chi$ : $\text{U}(\chi) := \{ U \in \text{U} \mid \chi_{\rho_{\mid U}} = \chi \}$.
Finalement on a :
$$ W := \bigoplus_{\chi} V_\chi \qquad \text{où} \qquad V_\chi := \bigoplus_{U \in \text{U}(\chi)} U$$
Par les relations d'orthogonalités, on a que : $\# \text{U}(\chi) = \langle \chi \mid \chi_\rho \rangle$. Remarquons en passant que ce nombre ne dépend pas du choix de la décomposition $(\star)$, en fait l'espace $V_\chi$ ne dépend pas non plus de cette décomposition (je renvoie à Serre le théorème 8 page 34). Par contre, l'ensemble $\text{U}(\chi)$ dépend de la décomposition.
Le but est d'utiliser ça dans le cas où $\rho$ est la représentation régulière $R$.
Now, qu'est-ce que l'on peut dire du caractère de la représentation régulière que je note $\chi_R$ : soit $g \in G$, alors $\chi_R(g) =0$ si $g \ne e$ et $\chi_R(e) = n := \# G$.
Ensuite : on prend le produit scalaire :
$$
\langle \chi_R \mid \chi \rangle := \frac{1}{n} \sum_{g \in G} R(g^{-1}) \chi(g) = \frac{1}{n} n \chi(e) = \chi(e) = \text{dim}(\chi)
$$
A mon avis vaut mieux suivre ligne à ligne un cours sous peine de se mélanger les pinceaux entre ce qui est montré et ce que l'on montre. Par exemple, je n'ai pas prouvé que $\# \text{U}(\chi) = \langle \chi \mid \chi_\rho \rangle$. (mais c'est conséquence de la proposition 2 page 24 (toujours Serre)) et des relations orthogonalités.
Désolé pour la réponse tardive et un grand merci pour vos réponses détaillées. Je vais voir ça en détail.
(Merci aussi à toi AD pour les corrections)
[À ton service, si cela peut t'éviter de les refaire... ;-) AD]
Qu'est-ce qui est intrinsèque ici ? Seule la dimension $n$ (c'est-à-dire la multiplicité de la représentation triviale...) l'est, car le reste (la base, les $V_i$) dépend d'un choix.
Je suppose que la situation des espaces vectoriels ne te pose pas de problème : constate que la situation des sous-représentations et représentations irréductibles à isomorphisme près est extrêmement semblable. On choisit des vrais sous-espaces mais pour obtenir quelque chose de canonique, on travaille à isomorphisme près.
Il semble qu'il y ait une nouveauté pour les groupes non triviaux, cependant : les composantes isotypiques qui, elles, sont des sous-représentations canoniques. Ce n'est pas si nouveau. Pour trouver une analogie, prenons un groupe cyclique $G=\langle g\rangle$, disons d'ordre $d$ (car $n$ est déjà pris). Alors les composantes isotypiques correspondent aux sous-espaces propres de $g$ : peux-tu le vérifier ? Il faut développer un (petit) dictionnaire (je note $\zeta=\exp(2\mathrm{i}\pi/d)$) :