Catégorie des complexes

yates · January 2018

Bonsoir,
Je ne sais pas si ma question est triviale, mais je me pose la question si la catégorie des complexes bornés à droite avec homologie bornée, $C^{-,b}(A)$, où $A$ est une catégorie abélienne, est abélienne ?
Bien sûr on peut voir cette catégorie comme une sous-catégorie de $C(A)$, mais pourquoi l'homologie du noyau est bornée ?
Merci d'avance.

Lupulus · January 2018

Je n'ai sans doute pas compris la question mais si $f : C \to D$ est un morphisme de complexes bornés il est automatique que le noyau (et donc son homologie) est borné non ?

yates · January 2018

Non. C'est la catégorie des complexes bornée à droite avec une homologie bornée. Pense à une résolution projective!

Maxtimax · January 2018

Qu'appelles-tu "homologie bornée" ?

yates · January 2018

Soit $X^{\cdot}$ un complexe borné à droite. Ce dernier a une homologie bornée veut dire qu'il existe un nombre fini de $H^{n}(X^{\cdot})$ non nuls ($ n$ un entier relatif).

Maxtimax · January 2018

Ok c'est bien ce que je pensais. @Lupulus : du coup l'homologie du noyau n'est a priori bornée qu"à droite. Mais si les homologies de $C, D$ sont bornées, n'a-t-on pas une propriété d'exactitude de $H_n$ qui fait que l'homologie du noyau l'est aussi ?

Lupulus · January 2018

Maxtimax : il me semble que la seule suite exacte avec le noyau dedans est $0 \to \ker f \to C \to D \to \text{coker}(f) \to 0 $ mais je ne crois pas qu'il y ait de longue suite exacte associé. Aussi il y a $0 \to \ker(f) \to C \to \text{im}(f) \to 0$ mais je sais pas si $\text{im} est à homologie bornée ...

Edit : j'ai rectifié une bêtise.

Maxtimax · January 2018

Ce que je veux dire c'est que si $H_n$ est exact à gauche (j'en doute franchement), alors on a une suite exacte courte $0\to H_n(\mathrm{ker}f) \to H_n(C) \to H_n(D)$, mais $H_n(C) = H_n(D) = 0$ pour $|n|$ grand, de sorte que $H_n(\mathrm{ker}f) =0$ pour les mêmes $n$.

Mais je n'y connais pas grand chose donc il est possible que la supposition "$H_n$ exact à gauche" soit ridicule

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