Montrer que c'est une base
Bonjour
$R^{n}$ avec produit scalaire canonique
$(e_{k})$ base orthonormée k varie de 1 à n
$(f_{k})$ des vecteurs avec $||e_{k}-f_{k}||<1/\sqrt{n}$
a/ montrer que les $(f_{k})$ est une base
b/ si on a $||e_{k}-f_{k}||\leq 1/\sqrt{n}$
est ce que les $(f_{k})$ est encore une base?
Merci
[Titre corrigé, merci de faire attention à la forme. --JLT]
$R^{n}$ avec produit scalaire canonique
$(e_{k})$ base orthonormée k varie de 1 à n
$(f_{k})$ des vecteurs avec $||e_{k}-f_{k}||<1/\sqrt{n}$
a/ montrer que les $(f_{k})$ est une base
b/ si on a $||e_{k}-f_{k}||\leq 1/\sqrt{n}$
est ce que les $(f_{k})$ est encore une base?
Merci
[Titre corrigé, merci de faire attention à la forme. --JLT]
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Réponses
Qu'as-tu essayé ?
L'énoncé est très mal rédigé (et le titre est pire !). Quid de $e_0$ ?
Cordialement.
Supposer la famille des \(f_k\) liée, prendre un vecteur unitaire \(u\) orthogonal à tous les \(f_k\), projeter les \(e_k\) sur la droite engendrée par \(u\), obtenir une contradiction…
Cordialement, j__j
La propriété reste vraie si l'on remplace l'hypothèse $ ||e_{k}-f_{k}||<1/\sqrt{n}$ par $\displaystyle \overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\left\|e_k-f_k\right\| ^{2}<1$.
Elle ne reste pas vraie si l'inégalité est large.
Bonne journée.
Fr. Ch.