Montrer que c'est une base

etanche · January 2018

Bonjour

$R^{n}$ avec produit scalaire canonique

$(e_{k})$ base orthonormée k varie de 1 à n

$(f_{k})$ des vecteurs avec $||e_{k}-f_{k}||<1/\sqrt{n}$

a/ montrer que les $(f_{k})$ est une base

b/ si on a $||e_{k}-f_{k}||\leq 1/\sqrt{n}$
est ce que les $(f_{k})$ est encore une base?

Merci

[Titre corrigé, merci de faire attention à la forme. --JLT]

gerard0 · January 2018

Bonjour.

Qu'as-tu essayé ?

L'énoncé est très mal rédigé (et le titre est pire !). Quid de $e_0$ ?

Cordialement.

gb · January 2018

Bonjour,

Supposer la famille des $f_k$ liée, prendre un vecteur unitaire $u$ orthogonal à tous les $f_k$, projeter les $e_k$ sur la droite engendrée par $u$, obtenir une contradiction…

etanche · January 2018

@gb j'obtiens que les $e_{k}$ sont égaux à u aux signes près. Absurde.

gb · January 2018

Ce résultat est bizarre… Je ne vois pas pourquoi le vecteur $e_1$ serait orthogonal à tous les $f_k$.

P. · January 2018

Si $u=\sum_{k=1}^na_k e_k$ est unitaire et orthogonal a tous les $f_k$ alors $a_k=\langle u,e_k\rangle =\langle u,e_k-f_k\rangle$ et donc par Schwarz $a^2_k<1/n$, ce qui contredit $1=\sum_{k=1}^na^2_k.$ Pour le b) considere $s=e_1+\cdots+e_n$ et $f_k=e_k-\frac{s}{n}.$

john_john · January 2018

On doit pouvoir s'en sortir aussi comme il suit : si $u$ est l'endomorphisme qui à chaque $e_k$ associe respectivement $e_k-f_k$, alors il suffit de montrer que $1$ n'est pas valeur propre de $u$. Or, la trace de l'endomorphisme symétrique $u^*u$ est $<1$ vu les hypothèses et donc $||u(x)||^2<||x||^2$ pour tout vecteur $x\neq0$...

Cordialement, j__j

Chaurien · January 2018

L'idée la plus simple me semble celle de gb, qu'on peut rédiger sans raisonnement par l'absurde. Si $F$ est le sous-espace engendré par les $f_k$, on prend un vecteur $z\in F^{\perp }$. On montre que $z=0$, ce qui prouve : $F=E$.
La propriété reste vraie si l'on remplace l'hypothèse $ ||e_{k}-f_{k}||<1/\sqrt{n}$ par $\displaystyle \overset{n}{\underset{k=1}{\sum }}\left\|e_k-f_k\right\| ^{2}<1$.
Elle ne reste pas vraie si l'inégalité est large.
Bonne journée.
Fr. Ch.

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