Zigzags et bijections

Bonjour
Voici un énoncé un peu spécial (enfin pour moi) de MPSI.

Soit $n \in N^*$. On note $S_n$ l'ensemble des bijections de $[\![ 1,n]\!]$ dans $[\![ 1,n]\!]$. Soit $\sigma$ un élément de $S_n$ (appelé permutation de $[\![ 1,n]\!]$)

$\sigma$ est appelé un zigzag de $S_n$ lorsque : $\forall i \in [\![ 2,n-1]\!]$ :

$\sigma(i) \ge \max(\sigma(i-1), \sigma(i+1))$ ou $\sigma(i) \le \min(\sigma(i-1),\sigma(i+1))$

On note $Z_n$ l'ensemble des zigzags de $S_n$.

On représente un zigzag entre parenthèse, par exemple $s$ est un élément de $Z_9$ noté : $$ s =
\left (
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
6 & 3 & 8 & 2 & 4 & 1 & 9 & 5 & 7 \\
\end{array}
\right )
$$ Première question : Ecrire sous la même forme que ci-dessus tous les zigzags de $S_4$.

J'ai trouvé ceux-là : $$\begin{array}{ccccc}
s_1 =
\left (
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
1 & 4 & 2 & 3\\
\end{array}
\right )
&
s_2 =
\left (
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
1 & 3 & 2 & 4\\
\end{array}
\right )
&
s_3 =
\left (
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
3 & 4 & 1 & 2\\
\end{array}
\right )
&
s_4 =
\left (
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
3 & 2 & 4 & 1\\
\end{array}
\right )
&
s_5 =
\left (
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
3 & 1 & 4 & 2\\
\end{array}
\right )
\\
s_6 =
\left (
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 4 & 1 & 3\\
\end{array}
\right )
&
s_7 =
\left (
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 1 & 4 & 3\\
\end{array}
\right )
&
s_8 =
\left (
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 1 & 4\\
\end{array}
\right )
&
s_9 =
\left (
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
4 & 1 & 3 & 2\\
\end{array}
\right )
&
s_{10} =
\left (
\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 3 & 4\\
4 & 2 & 3 & 1\\
\end{array}
\right )
\end{array}
$$ Qu'en pensez-vous ?

Deuxième question : Soit $ \sigma \in S_n$
On définit : $\hat{\sigma} : [\![ 1,n]\!] \rightarrow [\![ 1,n]\!], k \mapsto \hat{\sigma} = \sigma(n+1-k)$
i. Montrer que $\hat{\sigma} $ est bien définie, bijective et exprimer sa bijection réciproque en fonction de $\sigma^{-1}$ la bijection réciproque de $\sigma$.

Là j'ai dit que $\sigma$ est une bijection de $[\![ 1,n]\!]$ dans $[\![ 1,n]\!]$.
Donc $\sigma(n+1)$ est une bijection de $[\![ 1,n]\!]$ dans $[\![ 2,n+1]\!]$
et $k \in [\![ 1,n]\!]$ (je n'en suis pas sûr).
Donc $\sigma(n+1-k) = \hat{\sigma}$ est une bijection de $[\![ 1,n]\!]$ dans $[\![ 2-n,n]\!]$