Représentation régulière, algèbre de groupes

Oui, ne pas brûler les étapes ! D'abord la section 2.6. Dans le cadre de $\C[G]$, je pense que c'est ok pour moi. Et il faut s'occuper de la section 2.7 i.e. des $e_{i,j}$ pour $1 \le i, j \le d$. C'est évident que $e_\chi = \sum_i e_{i,i}$. Les ingrédients sont dans la proposition 8 (énoncé + preuve). Faire attention à la gauche et à la droite. Il y a un certain nombre de relations vérifiées par les $e_{i,j}$ (je n'ai pas fourni toutes les relations que ``je connais'').

On a par exemple $e_{i,j} = e_{i,j} e_{j,j}$ qui montre que $e_{i,j} \in \C[G]e_{j,j}$. Ici, je fixe $j$ et je fais agir $G$ à gauche comme il se doit sur $\C[G]e_{j,j}$. Et la relation :
$$
g \cdot e_{i,j} = \sum_{k=1}^d \rho_W(g)_{k,i} e_{k,j}, \qquad i = 1, 2, \cdots, d
$$
montre simultanément que $(e_{1,j}, e_{2,j}, \cdots, e_{d,j})$ est une base de $\C[G]e_{j,j}$ et que la matrice de la multiplication par $g$ dans cette base est la matrice $\rho_W(g)$. Ce qui fait que $\C[G] e_{j,j} \simeq W$ en tant que $G$-modules.

Ci-dessous, j'ai pris la représentation hyperplane de $S_3$. I.e. celle sur $x_1 + x_2 + x_3 = 0$. Elle est irréductible de dimension 2. J'ai pris $(e_1-e_2, e_1-e_3)$ comme base de cet hyperplan, ce qui m'a donné explicitement $\rho_W$ puis ...etc...

(1, 2, 3)
[-1 -1]
[ 1  0]
X^2 + X + 1

(1, 2)
[-1 -1]
[ 0  1]
X^2 - 1

3e11 = Id(S3) - (1, 3, 2) + (2, 3) - (1, 2)
3e12 = -(1, 2, 3) + (1, 3, 2) - (2, 3) + (1, 3)
3e21 = (1, 2, 3) - (1, 3, 2) - (1, 2) + (1, 3)
3e22 = Id(S3) - (1, 2, 3) - (2, 3) + (1, 2)

Evidemment, j'ai des petits soucis en programmation. Mais un petit souci en programmation, c'est en fait un gros souci. Bien entendu, $\C$ cela n'existe pas et je dois le remplacer par une extension cyclotomique assez grande. C'est plus facile à dire qu'à faire. Evidemment, pour le groupe symétrique $S_n$ pas de problème puisque l'on peut prendre $\C = \Q$.

Histoire de faire un petit diagramme xypic. Je continue ici du même côté i.e. $k[G]e_{j,j}$ en faisant agir $G$ à gauche. On verra plus tard de l'autre côté. Ne pas oublier que $e_{k,j} \in k[G]e_{j,j}$ puisque $e_{k,j} = e_{k,j} e_{j,j}$. Une fois le plein de relations réalisé sur les $e_{i,j}$, on obtient deux isomorphismes réciproques l'un de l'autre:
$$
\xymatrix @C = 2cm {
k[G]e_{i,i}\ar@/^1pc/[r]^{\bullet \times e_{i,j}} & k[G]e_{j,j} \ar@/^1pc/[l]^{\bullet \times e_{j,i}}
}
$$
Je me doute que tout cela n'est pas assez structurel. Pour le structurel, on verra plus tard.

@MathCoss
J'ai bien vu ton dernier post. Mais pour l'instant, ce n'est pas mon objectif et en fait ce que je veux réaliser est beaucoup plus élémentaire. Pour ne rien te cacher, je suis encore sur les pages 35-36 de Serre (proposition 8, section 2.7). Les numéros de pages (et le temps passé de ma part là dessus) devraient achever de te convaincre que je fais vraiment dans l'élémentaire. On pourrait penser qu'il n'y a qu'à faire du coupé-collé de Serre. C'est un peu plus compliqué que cela.

D'abord, il faut bien comprendre, dans cette fameuse proposition 8, que les images des projecteurs ne constituent pas ``la'' décomposition en sous-espaces irréductibles. Il n'y en a pas de canonique comme déjà dit. Il faut considérer des systèmes ``transverses'' (terminologie de mézigue) à ces images. Je me comprends.

Et dans le contexte dans lequel je me suis placé, les images des projecteurs sont les $e_{ii}k[G]$. Et il y a un système transverse qui nous tend les bras à savoir le système constitué $k[G]e_{ii}$. En un certain sens, le contexte de la décomposition de $k[G]$ est plus simple puisqu'il contient certains ingrédients canoniques. Les $e_{ii}$ sont des idempotents (non canoniques) dont j'ai déjà parlé (et que tout me monde a oublié, normal, mais ils réapparaissent ci-dessous).

Je peux comprendre que CI-DESSUS, cela puisse être obscur. Mais ci-dessous, je reprends des choses.

Et figure toi que j'ai réussi à placer ton $W \otimes_k W_{\rm triv.}^*$, cf plus loin. Rappel : $(W, \rho_W)$ est une représentation irréductible de dimension $d$ de $G$, de caractère $\chi$, qui fournit un idempotent central $e = e_\chi \in k[G]$ :
$$
e = e_\chi = {d \over \#G} \sum_{g \in G} \chi(g^{-1}) \ \varepsilon_g
$$
Alors, on dispose du $G$-isomorphisme que voilà (pas besoin de prendre une base de $W$, youpi) :
$$
\Phi : W \otimes_k W_{\rm triv.}^* \ni w \otimes \mu \longmapsto {d \over \#G} \sum_{g \in G} \mu(g^{-1} w) ge \in k[G] e
$$
Et si je prends une base $(e_i)$ de $W$, alors $\Phi$ transforme $e_i \otimes e_j^*$ en $e_{ij}$, les $e_{ij}$ dont j'avais déjà parlé. Je trouve cela rassurant.

On peut même en faire du $\text{Hom}$ si on veut suivre le produit versus la composition :
$$
\Phi : \text {Hom}_k(W, W_{\rm triv)} \ni u \longmapsto {d \over \#G} \sum_{g \in G} \text{tr} \big(u \circ \rho_W(g^{-1})\big) ge \in k[G] e
$$
Petite prise de tête : $\Phi(u \circ v ) = \Phi(u) \Phi(v)$ ou $\Phi(u \circ v ) = \Phi(v) \Phi(u)$. A l'arrivée, cela se passe dans l'idéal (bilatère) engendré par l'idempotent $e$. La gauche et la droite, c'est ma hantise.

Voilà, voilà. Cela fait plus structurel mais je ne suis pas convaincu que cela soit plus facile à comprendre. En tout cas, je jette pas les $e_{ij}$ qui viennent plus ou moins de Serre (ce sont, à quelque chose près, les $p_{ij}$ de Serre, qui sont d'ailleurs notés $p_{\alpha,\beta}$).

Pour résumer, j'avance à pas de bébés (et donc je me couche des notes !) mais j'ai tout mon temps.

@Math Coss

Plusieurs petites choses.

1) Faire remonter le fil avant qu'il ne soit trop englouti dans ...

2) Je n'avais jamais entendu parler de Meat-Axe (avant que tu n'en parles). Et j'ai vérifié, dans le système de Calcul Formel que j'utilise, que c'est une des pièces maîtresses en représentation (effective) des groupes finis. J'ai fait un petit peu joujou avec. Cela m'impressionne.

3) Tu m'as sauvé la vie avec ton $W \otimes_k W^*_{\rm triv}$. Je t'assure. Mais j'ai voulu en faire un Hom. Et dans mon dernier post, je mentionne $\text{Hom}_k(W, W_{\rm triv})$. Funeste erreur ; il s'agit de $\text{Hom}_k(W_{\rm triv}, W)$. Il faut vraiment être très très soigneux dans ces histoires.

4) J'ai découvert dans Bourbaki, Algèbre VIII (Modules et anneaux semi-simples), toute une section (à la fin), consacrée aux représentations linéaires d'un groupe fini sur un corps $k$ de caractéristique 0 (ou disons dont la caractéristique ne divise pas $\#G$). Je parle d'une édition relativement récente (totalement refaite). Petit hic : cette section arrive vers la page 400. J'y ai appris pas mal de choses. Par exemple la caractérisation fonctionnelle des caractères irréductibles :
$$
f(g) f(g') = {f(1) \over \#G} \sum_h f(hgh^{-1}g')
$$
Je veux dire par là qu'étant donné $f : G \to k$, alors à un scalaire près, c'est un caractère irréductible si et seulement si $f$ vérifie l'équation ci-dessus. Utilisation astucieuse du lemme de Schur. Ce qui m'attriste un peu, c'est que je n'ai pas pu en déduire que $e_\chi$ est idempotent (l'idempotence équivaut à une autre relation fonctionnelle et découle aussi du lemme de Schur). Je m'y prends peut-être mal.

Voilà, voilà, les nouvelles du front. Et ton usine à gaz dont tu parlais dans le dernier post ? Arrêtée ?

$\def\tr{\text{tr}}\def\End{\text{End}}$@MathCoss
Je viens de mettre un bémol à $W \otimes W_{\rm triv}^*$. Rappel : $(W, \rho)$ est une représentation irréductible de dimension $d$ d'un groupe fini $G$ sur un corps algébriquement clos $k$, de caractère $\chi$. Il s'agissait d'expliciter le fait qu'elle figure $d$ fois dans la représentation régulière. En fait, inutile de se forcer à l'expliciter car c'est déjà fait dans Bourbaki (il appelle cela l'inversion de Fourier).

Et la réponse tient en une ligne en définissant $\Phi$ où $k[G]$ est l'algèbre de groupes de base $(\varepsilon_g)_g$ :
$$
\Phi : \End_k(W) \to k[G], \qquad \qquad
u \longmapsto {d \over \#G} \sum_g \tr\big( \rho(g^{-1} \circ u\big) \varepsilon_g
$$
Pour l'instant, on ne s'inquiète pas de structure de $G$-module sur l'espace (de matrices) de départ (il y en aura deux, une à gauche, une à droite, comme sur $k[G]$ d'ailleurs).

Alors $\Phi$ vérifie $\Phi(u \circ v) = \Phi(u) \Phi(v)$. On note $e_\chi =\Phi(\text{Id}_W)$. C'est un idempotent central et $\Phi$ est à valeurs dans l'idéal bilatère $k[G] e_\chi$. Et l'on a
$$
\Phi(\rho(g)) = g e_\chi = e_\chi g \qquad \hbox {si bien que } \qquad
\Phi(\rho(g) \circ u) = g\Phi(u), \qquad \Phi(u \circ \rho(g)) = \Phi(u)g
$$
Vu les deux égalités de droite, on comprend maintenant quelles sont les deux structures de $G$-module à gauche et à droite qu'il faut installer sur $\End_k(W)$. Et alors $\Phi$ est un isomorphisme de $G$-bi-module(s) de $\End_k(W)$ sur l'idéal bilatère $k[G]e_\chi$.

En terme de produit tensoriel, c'est préférable de considérer $W \otimes_k W^*$ au lieu de $W \otimes_k W_{\rm triv}^*$ et de mettre deux strucures de $G$-module : une à gauche sur le facteur gauche et une à droite sur le facteur droit, et ceci comme on le pense. Si bien que la lecture de $\Phi$ devient :
$$
w \otimes \mu \longmapsto {d \over \#G} \sum_g \mu(g^{-1} w) \varepsilon_g
$$
Cette manière de voir (grosso-modo Bourbaki) évite la pollution due à l'utilisation d'une base de $W$. La considération d'une base de $W$ fait que $\End_k(W)$ est vraiment un espace de matrices.
Et les anciens $e_{ij}$ du côté de $k[G]$ s'obtiennent en balançant par $\Phi$ la base canonique de $\End_k(W)$.

Je n'ai compris vraiment cela (histoire de gauche/droite) que fort tard. Et j'avais commencé à écrire des notes (que j'attache) qui sont maintenant à mettre à la poubelle (c'est un m.rd.er pas possible là-dedans). Mais elles ont été utiles pour implémenter. A quoi cela sert d'implémenter ? A constater que l'on n'a pas tout compris et parfois rien compris. Cela a été un peu mon cas ici. En résumé : tout est dans Bourbaki Algèbre VIII (Modules et anneaux semi-simples). Il faut juste s'accrocher au début pour le lire.