Problème de définition du rang d'une matrice
Bonjour à tous !
Bon, j'espère qu'on me pardonnera cette question qui va certainement sembler triviale pour la plupart. Mais mes études de mathématiques remontent à ma folle jeunesse, donc il y a à quelques temps ^^
Voici mon exercice résumé aux questions me posant problème :
Soit la matrice $A = \left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 4
\end{array} \right) $ et $f$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_2 (\mathbb{R})$ défini par : $f(M) = AM$.
Déterminer une base de Im$(f)$
(il y a d'autres questions avant celle-là, notamment pour déterminer le noyau de $A$, mais seule celle-ci me pose problème)
En utilisant la définition Im $(f) = Vect( f(e_1), f(e_2), f(e_3), f(e_4) )$ avec $(e_i)$ la base canonique de $ \mathcal{M}_2$,
j'obtiens : Im $(f) = Vect( \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) )$. Par conséquent, dim(Im(f)) = 2.
Pourtant, il me semble que :
1) dim(Im(f)) = rg A
2) la définition du rang d'une matrice $A$ dont je me rappelle est "rg A = le nombre maximal de vecteurs lignes linéairement indépendants". Ici, on aurait rg $A$ = 1.
Il y a donc une contradiction que je n'arrive pas à lever. Pourriez-vous m'indiquer où se situe mon erreur s'il vous plait ?
En vous remerciant par avance
Bon, j'espère qu'on me pardonnera cette question qui va certainement sembler triviale pour la plupart. Mais mes études de mathématiques remontent à ma folle jeunesse, donc il y a à quelques temps ^^
Voici mon exercice résumé aux questions me posant problème :
Soit la matrice $A = \left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & 4
\end{array} \right) $ et $f$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_2 (\mathbb{R})$ défini par : $f(M) = AM$.
Déterminer une base de Im$(f)$
(il y a d'autres questions avant celle-là, notamment pour déterminer le noyau de $A$, mais seule celle-ci me pose problème)
En utilisant la définition Im $(f) = Vect( f(e_1), f(e_2), f(e_3), f(e_4) )$ avec $(e_i)$ la base canonique de $ \mathcal{M}_2$,
j'obtiens : Im $(f) = Vect( \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{array} \right) )$. Par conséquent, dim(Im(f)) = 2.
Pourtant, il me semble que :
1) dim(Im(f)) = rg A
2) la définition du rang d'une matrice $A$ dont je me rappelle est "rg A = le nombre maximal de vecteurs lignes linéairement indépendants". Ici, on aurait rg $A$ = 1.
Il y a donc une contradiction que je n'arrive pas à lever. Pourriez-vous m'indiquer où se situe mon erreur s'il vous plait ?
En vous remerciant par avance
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Réponses
> Pourtant, il me semble que : 1)/ dim(Im(f)) = rg A
Pourquoi ? $A$ n'est pas la matrice de l'endomorphisme $f$. D'abord, $\mathcal M_2(\R)$ est un espace vectoriel de dimension $4$, et la matrice d'un endomorphisme de cet espace est toujours de taille $4\times 4$.
> 2) la définition du rang d'une matrice $A$ dont je me rappelle est "rg A = le nombre maximal de
> vecteurs lignes linéairement indépendants". Ici, on aurait rg $A$ = 1.
Même problème ! Le rang de $A$ est bien $1$, mais $A$ n'est pas la matrice de $f$.
Peux-tu écrire la matrice de $f$, dans la base "canonique" de $\mathcal M_2(\R)$ (celle que tu as utilisée) ?
mais $A$ n'est pas la matrice de $f$.
Voilà donc le point qui me posait problème ! Et maintenant que tu mets le doigt dessus, il me semble que c'est "un piège" dans lequel j'étais déjà tombé en algèbre du fait de travailler dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Mais ça remonte un peu.
2 petites questions en découlent :
1/ Est-ce que j'ai bien le théorème du rang suivant : dim($\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$) = dim ($\ker (f)$) + dim (im$(f)$) ?
(ce qui me permettrait de conclure que dim (im$(f)$) = 2 puisque j'ai calculé dim ($\ker (f)$) = 2 dans les questions précédentes).
2/ $\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$, $\left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$, $\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right)$, $\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$ est bien la base canonique de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ?
Dans tous les cas, je vous remercie grandement tous les deux ! Et je vais tenter de trouver l'endomorphisme associé à $f$ du coup.
Ok, tout est limpide maintenant, je vous remercie beaucoup