Représentations linéaires des groupes finis

Le quotient de $Q$ par le centre $Z$ est un groupe d'ordre $4$.
Ce groupe a trois représentations linéaires $\chi_j$ ($1\le j\le 3$) faciles à trouver/calculer/décrire, qui donnent des représentations de $Q$ par composition par la projection canonique $Q\to Q/Z$.

Je précise l'idée du quotient. Le quotient d'un groupe $G$ par un sous-groupe $\newcommand{\un}{\mathbf{1}}H$ est l'ensemble des classes $gH$ lorsque $g$ parcourt $G$ (il y a des redondances). Ici ($G=Q$ et $H=Z$), $Q/Z$ est donc l'ensemble $\{\un,I,J,K\}$ où $\un=\{1,-1\}$, $I=iZ=\{i,-i\}$, $J=jZ=\{j,-j\}$ et $K=kZ=\{k,-k\}$.
Lorsque $H$ est distingué (c'est le cas ici), le quotient est naturellement un groupe : le produit de deux classes $gH$ et $g'H$ est simplement $gg'H$, on ne fait pas plus simple. Ici, par exemple, $IJ=iZjZ$ est la classe du produit $ij$, c'est-à-dire $K$ ; $I^2=iZiZ=i^2Z=-1Z=\un$, etc. Quel est donc le groupe $Q/Z$ ?

Sinon, approche complètement terre à terre : que peuvent valoir $\chi_1(i)$ et $\chi_1(j)$ ? Ce sont des racines quatrièmes de l'unité bien sûr mais si ce sont des racines primitives de l'unité (c'est-à-dire $\pm\mathrm{i}$), que peut-on dire de $\chi_1(k)$ ? et donc de $\chi_1(-1)$ ? Que vaut $\chi_1(-1)$ dans tous les cas, par conséquent ? Et donc, que peuvent valoir $\chi_1(i)$ et $\chi_1(j)$ a posteriori ? Ces simples considérations suffisent pour construire $\chi_1$, $\chi_2$ et $\chi_3$.