Espaces vectoriel euclidien Produit scalaire

1) Prendre $P=Q=1$ dans la formule et calculer $\|P\|^2=\langle P,P\rangle$.

2) L'angle se calcule avec le cosinus et le cosinus se calcule avec le produit scalaire. Comme au lycée... Quand on a deux vecteurs $P$ et $Q$ (ici deux polynômes), le cosinus de l'angle (géométrique) qu'ils forment est $\dfrac{\langle P,Q\rangle}{\|P\|\cdot\|Q\|}$.

3) On cherche $P$ de degré $2$, c'est-à-dire qu'on cherche ses coefficients : il faut que tu les nommes, $P=\cdots$. Puis on veut que $P$ soit orthogonal à tout polynôme $Q$ de degré $1$. Quelle est la forme des polynômes de degré $1$ ? L'orthogonalité s'écrit $\langle P,Q\rangle=0$. Pourrais-tu nommer (les coefficients d')un polynôme $Q$ de degré $1$ « quelconque », calculer $\langle P,Q\rangle$ et exprimer l'annulation de ce produit scalaire ? Cela donne une équation qui dépend des coefficients de $Q$ : en choisissant des valeurs particulières pour ces coefficients (ceux de $Q$, donc), tu peux en déduire plusieurs équations portant sur ce que tu cherches (c'est quoi, encore, ce qu'on cherche ?). Ça donne un système linéaire pas trop compliqué (combien d'inconnues ?) qu'il faut résoudre.

Hardi !