Dimension du dual $E^*$
Réponses
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Bonsoir,
Si $E$ est de dimension finie, alors $E\simeq{E^*}$, sans que cet isomorphisme soit canonique.
Cordialement,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
En effet. Si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de l'espace, un élément $\ell$ de $E^*$ est déterminé par l'image de cette base, c'est-à-dire par les $n$ scalaires $(\ell(e_1),\dots,\ell(e_n))$. Cette remarque induit un isomorphisme $E^*\to K^n$, $\ell\mapsto(\ell(e_1),\dots,\ell(e_n))$ (où $K$ est le corps de base). Comme celui dont parle Thierry Poma, cet isomorphisme n'est pas canonique (il dépend du choix de la base).
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On parle d'espace vectoriel de dimension finie, et non pas d'ensemble de dimension finie.
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Bonjour,merci pour vos réponses.
J'aimerais bien savoir le suivant.- Est-ce que je peux dire que la dimension du dual $(E^*)$ est de la même nature de que celle de l'espace $E $ lui même ?
- Esr-ce qu'il y a des techniques pour identifier une base de $E^*$ à partir la d'une base de $E$ ?
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Salut,
ta première question est certainement mal posée ou alors quelque chose m'échappe. $E$ et $E^*$ sont des espaces vectoriels, la notion de dimension pour l'un comme pour l'autre est donc la même notion (le cardinal commun à toutes les bases).
Pour ta seconde question, si $(e_1, ..., e_n)$ est une base de $E$, alors $(e^*_1, ... e^*_n)$ où $e^*_i$ est une forme linéaire définie pour pour tout entier $j$ entre $1$ et $n$ par $e^*_i(e_j)=\delta_{ij}$ (symbole de Kronecker) est une base de $E^*$ : c'est la base duale associée à $(e_1,...,e_n)$. -
Salut, merci pour votre réponce @michael
vous avez répondu exactement a ce que je veux, c'est a dire si $E$ est de dimension dénombrable alors $E^*$ soit aussi et aussi pour $dim(E) fini $ ou bien $infini$ ( est-ce-qui'il y d'autre cas ?!)
pour la deuxième ,la réponce était assez claire ,pourriez vous me proposer quelque exercices svp ? -
c'est a dire si E est de dimension dénombrable alors E* soit aussi
C'est faux. $K[X]$ est de dimension dénombrable sur $K$, pas son dual. -
@GaBuZoMeu la démonstration au-dessus pour le cas fini n'est plus valable pour le cas dénombrable ?!
pourriez vous m'expliquer comment svp ? -
$(X^0,X^1,\ldots,X^n,\ldots)$ est une base de $\R[X]$ sur $\R$ : tout polynôme s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des $X^n$ pour $n\in \N$. Les formes linéaires $\ell_p$ pour $p\in \N$, définies par $\ell_p(X^n)=\delta_{n,p}$ (autrement dit, $\ell_p$ est la forme linéaire "coefficient de $X^p$") forment bien une famille libre du dual $\R[X]^*$, mais pas une base. Par exemple, la forme linéaire $P\mapsto P(1)$ n'est pas combinaison linéaire des $\ell_p$. Un argument de cardinalité montre que la dimension de $\R[X]^*$ est le continu.
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Merci monsieur @GaBuZoMeu
je vois que la forme que vous avez donné comme peut s'ecrire comme une combinaison lineaire des $l_i , i \in \mathbb{N}$ exeactement
$$P=1.\ell_0 + 0.\ell_1 +\cdots $$
merci pour votre explication -
Non, ce n'est pas une combinaison linéaire ! Ce que tu écris n'a pas de sens.
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Merci monsieur
Pourriez vous me recommender quelque choses a lire pour comprendre cette histoire svp ? -
@GaBuZoMeu
Histoire de voir si j'ai compris...
On aurait envie d'écrire :
Si on note $\varphi : P \mapsto P(1)$, alors $\varphi = \sum_{k = 0}^{+\infty} \ell_k$.
Et le problème est que cette écriture n'est pas une somme finie (donc ce n'est pas une combinaison linéaire de la base duale "supposée base duale", qui n'en est pas une :-D).
Est-ce cela ? -
Oui, $\varphi$ n'appartient pas au sous-espace vectoriel de $\R[X]^*$ engendré par les $\ell_p$. Et il ne faut pas appeler $(\ell_p)_{p\in \N}$ "base duale" puisque ce n'est pas une base.
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Suite aux messages de GaBuZoMeu, je précise (si besoin), que je répondais dans le cadre de la dimension finie (comme indiqué dans le premier message de ce fil). J'aurais peut-être dû préciser même si ça apparaît assez clairement dans la deuxième partie de mon précédent message.
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Ha merci !
En effet, en écrivant cela j'ai senti qu'il y avait un problème.
Deux questions se posent :
1) Cette famille des $(\ell_k)$ est issues des $(X^k)$. A-t-on un nom de cette famille construite "façon base duale comme en dimension finie" ?
2) Quid de l'espace vectoriel engendré par les $(\ell_k)$ ? -
1) Pas que je connaisse.
2) Il est tout tout petit dans le dual. Ce sont les formes linéaires telles qu'il existe un entier $n$ tel que, pour tout polynôme $P$, la valeur de la forme ne dépend que du tronqué de $P$ au degré $n$ (je ne fais que paraphraser la définition). -
Pour aider à comprendre la différence entre dimension finie et infinie, au cas où ce ne serait pas un résultat connu (?), voir le Théorème d'Erdos-Kaplansky(*) : la dimension du dual en dimension infinie est égale au cardinal de l'espace (dual).
(*) Dont une démonstration se trouve dans le tome d'algèbre de B. Gostiaux. -
Merci @GaBuZoMeu !
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