Si $E$ est de dimension finie, alors $E\simeq{E^*}$, sans que cet isomorphisme soit canonique.
Cordialement,
Thierry
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
En effet. Si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de l'espace, un élément $\ell$ de $E^*$ est déterminé par l'image de cette base, c'est-à-dire par les $n$ scalaires $(\ell(e_1),\dots,\ell(e_n))$. Cette remarque induit un isomorphisme $E^*\to K^n$, $\ell\mapsto(\ell(e_1),\dots,\ell(e_n))$ (où $K$ est le corps de base). Comme celui dont parle Thierry Poma, cet isomorphisme n'est pas canonique (il dépend du choix de la base).
ta première question est certainement mal posée ou alors quelque chose m'échappe. $E$ et $E^*$ sont des espaces vectoriels, la notion de dimension pour l'un comme pour l'autre est donc la même notion (le cardinal commun à toutes les bases).
Pour ta seconde question, si $(e_1, ..., e_n)$ est une base de $E$, alors $(e^*_1, ... e^*_n)$ où $e^*_i$ est une forme linéaire définie pour pour tout entier $j$ entre $1$ et $n$ par $e^*_i(e_j)=\delta_{ij}$ (symbole de Kronecker) est une base de $E^*$ : c'est la base duale associée à $(e_1,...,e_n)$.
Salut, merci pour votre réponce @michael
vous avez répondu exactement a ce que je veux, c'est a dire si $E$ est de dimension dénombrable alors $E^*$ soit aussi et aussi pour $dim(E) fini $ ou bien $infini$ ( est-ce-qui'il y d'autre cas ?!)
pour la deuxième ,la réponce était assez claire ,pourriez vous me proposer quelque exercices svp ?
$(X^0,X^1,\ldots,X^n,\ldots)$ est une base de $\R[X]$ sur $\R$ : tout polynôme s'écrit de manière unique comme combinaison linéaire des $X^n$ pour $n\in \N$. Les formes linéaires $\ell_p$ pour $p\in \N$, définies par $\ell_p(X^n)=\delta_{n,p}$ (autrement dit, $\ell_p$ est la forme linéaire "coefficient de $X^p$") forment bien une famille libre du dual $\R[X]^*$, mais pas une base. Par exemple, la forme linéaire $P\mapsto P(1)$ n'est pas combinaison linéaire des $\ell_p$. Un argument de cardinalité montre que la dimension de $\R[X]^*$ est le continu.
Merci monsieur @GaBuZoMeu
je vois que la forme que vous avez donné comme peut s'ecrire comme une combinaison lineaire des $l_i , i \in \mathbb{N}$ exeactement
$$P=1.\ell_0 + 0.\ell_1 +\cdots $$
merci pour votre explication
Si on note $\varphi : P \mapsto P(1)$, alors $\varphi = \sum_{k = 0}^{+\infty} \ell_k$.
Et le problème est que cette écriture n'est pas une somme finie (donc ce n'est pas une combinaison linéaire de la base duale"supposée base duale", qui n'en est pas une :-D).
Oui, $\varphi$ n'appartient pas au sous-espace vectoriel de $\R[X]^*$ engendré par les $\ell_p$. Et il ne faut pas appeler $(\ell_p)_{p\in \N}$ "base duale" puisque ce n'est pas une base.
Suite aux messages de GaBuZoMeu, je précise (si besoin), que je répondais dans le cadre de la dimension finie (comme indiqué dans le premier message de ce fil). J'aurais peut-être dû préciser même si ça apparaît assez clairement dans la deuxième partie de mon précédent message.
1) Pas que je connaisse.
2) Il est tout tout petit dans le dual. Ce sont les formes linéaires telles qu'il existe un entier $n$ tel que, pour tout polynôme $P$, la valeur de la forme ne dépend que du tronqué de $P$ au degré $n$ (je ne fais que paraphraser la définition).
Pour aider à comprendre la différence entre dimension finie et infinie, au cas où ce ne serait pas un résultat connu (?), voir le Théorème d'Erdos-Kaplansky(*) : la dimension du dual en dimension infinie est égale au cardinal de l'espace (dual).
(*) Dont une démonstration se trouve dans le tome d'algèbre de B. Gostiaux.
Réponses
Si $E$ est de dimension finie, alors $E\simeq{E^*}$, sans que cet isomorphisme soit canonique.
Cordialement,
Thierry
J'aimerais bien savoir le suivant.
- Est-ce que je peux dire que la dimension du dual $(E^*)$ est de la même nature de que celle de l'espace $E $ lui même ?
- Esr-ce qu'il y a des techniques pour identifier une base de $E^*$ à partir la d'une base de $E$ ?
Merci de m'en partager quelque neuronesta première question est certainement mal posée ou alors quelque chose m'échappe. $E$ et $E^*$ sont des espaces vectoriels, la notion de dimension pour l'un comme pour l'autre est donc la même notion (le cardinal commun à toutes les bases).
Pour ta seconde question, si $(e_1, ..., e_n)$ est une base de $E$, alors $(e^*_1, ... e^*_n)$ où $e^*_i$ est une forme linéaire définie pour pour tout entier $j$ entre $1$ et $n$ par $e^*_i(e_j)=\delta_{ij}$ (symbole de Kronecker) est une base de $E^*$ : c'est la base duale associée à $(e_1,...,e_n)$.
vous avez répondu exactement a ce que je veux, c'est a dire si $E$ est de dimension dénombrable alors $E^*$ soit aussi et aussi pour $dim(E) fini $ ou bien $infini$ ( est-ce-qui'il y d'autre cas ?!)
pour la deuxième ,la réponce était assez claire ,pourriez vous me proposer quelque exercices svp ?
C'est faux. $K[X]$ est de dimension dénombrable sur $K$, pas son dual.
pourriez vous m'expliquer comment svp ?
je vois que la forme que vous avez donné comme peut s'ecrire comme une combinaison lineaire des $l_i , i \in \mathbb{N}$ exeactement
$$P=1.\ell_0 + 0.\ell_1 +\cdots $$
merci pour votre explication
Pourriez vous me recommender quelque choses a lire pour comprendre cette histoire svp ?
Histoire de voir si j'ai compris...
On aurait envie d'écrire :
Si on note $\varphi : P \mapsto P(1)$, alors $\varphi = \sum_{k = 0}^{+\infty} \ell_k$.
Et le problème est que cette écriture n'est pas une somme finie (donc ce n'est pas une combinaison linéaire de la base duale "supposée base duale", qui n'en est pas une :-D).
Est-ce cela ?
En effet, en écrivant cela j'ai senti qu'il y avait un problème.
Deux questions se posent :
1) Cette famille des $(\ell_k)$ est issues des $(X^k)$. A-t-on un nom de cette famille construite "façon base duale comme en dimension finie" ?
2) Quid de l'espace vectoriel engendré par les $(\ell_k)$ ?
2) Il est tout tout petit dans le dual. Ce sont les formes linéaires telles qu'il existe un entier $n$ tel que, pour tout polynôme $P$, la valeur de la forme ne dépend que du tronqué de $P$ au degré $n$ (je ne fais que paraphraser la définition).
(*) Dont une démonstration se trouve dans le tome d'algèbre de B. Gostiaux.