$n$-symmetric space

Merci beaucoup, je pensais à quelque chose comme ça. Je vais investiguer un peu.

Pour le lien entre entre les extensions de degré $n$. Sur l'exemple que tu donnes :
$$
\# (\mathbb{A}^1)(\mathbb{F}_{p^n}) = p^n = \# (\mathbb{A}^n)(\mathbb{F}_p)
$$
Mais c'est un peu tiré par les cheveux et ne fonctionne pas du tout avec $\mathbb{P}^n$ ... mais le lien est un peu caché !

Salut Claude et Lupulus,

Pour $\mathbb{P}^n$ je garde ça pour plus tard.

Pour $(\mathbb{A}^1)^{(n)}$ c'est le théorème sur les fonctions symétriques élémentaires :
$$
\Z[X_1,\dots,X_n] ^{S_n} \simeq \Z[\sigma_1,\dots,\sigma_n]
$$
Un point sur $\mathbb{F}_{p}$ revient a spécifier des valeurs à $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ et par suite on peut identifier les points avec les polynômes unitaires à coefficient dans $\mathbb{F}_p$, certainement l'histoire des diviseurs effectifs de degré $n$. Je vais finir mes calculs combinatoires pour voir si ça correspond bien.

Sinon, pour Hartshorne, on me l'a volé dans mon bureau y'a quelques temps (sympa les collègues :-D).

Salut,

Je ne comprends pas trop le message que tu veux faire passer , c'est grave :-D Sinon mon interrogation viens de ce document : page 15 équation 21 et en comparaison avec le début de l'équation (11) page 8. Dans le second cas, on voit que la définition fait intervenir toutes les extensions finies de $k$ et dans l'autre équation on fait intervenir cette notion d'espace produit symétrique mais le corps de base ne varie pas. Ça m'a un peu choqué sur le moment d'où ma question.

Bonne question ! Il faut un peu de technologie, j'ai trouvé ça page 8.

Je vais regarder en détails, ça ne dois pas être trop technique, rendre algébrique le dénombrement avec les bases.

@Claude : Oui c'est énorme l'anneau de Grothendieck mais en fait je voulais seulement faire des choses avec le sous-anneau engendré par $\mathbb{A}$ (enfin pour l'instant, après je voulais aussi ajouter d'autres petits trucs un peu plus arithmétiques), on verra plus tard. J'ai vu que tu t'amuses bien avec les courbes elliptiques

@Reuns : Merci, je vais regarder, je pense qu'il y a de l'idée avec la formule de convolution (là je n'ai pas le temps).

@Reuns : une question.

Concernant la fonction $\zeta$ de Riemann. La relation fonctionnelle fait apparaître un facteur "bizarre" :
$$
\zeta(1-s) = \frac{2}{(2\pi)^s} \cos \left( \frac{\pi s}{2}\right) \Gamma(s) \zeta(s)
$$
Et on introduit la fonction $\xi$ :
$$
\xi(s)=\frac12 s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s)
$$
La relation devient agréable :
$$
\xi(1-s) = \xi(s)
$$

Comme on sait la fonction $\zeta$ se décompose en facteur locaux associés a chaque nombre premier (qui correspond à la fonction de comptage de Weil de $\text{spec}(\Z))$ i.e $\zeta(s) =\prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}$. Est-ce que tu as une idée d'une interprétation (combinatoire ?) du facteur $\frac12 s(s-1)\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)$ ?

$\def\m {\mathfrak{m}}$ Hello Claude,

Non, non ce n'est pas réglé d'un point de vue géométrique pour $X^{(n)}$ (pas vraiment de définition pour le moment) mais d'un point de vue combinatoire oui, ça colle. J'explique un peu plus le message.

Je prend $A$ une algèbre réduite de type fini sur $\def\Fp{\mathbb{F}_p}$ $k := \Fp$ : j'espère que je ne me suis pas trompé sur les mots mais je pense à $\Fp[x_1,\dots,x_n] / ( P_1,\dots,P_m)$.

Je note $X(\mathbb{F}_{p^r}) := \text{Hom}(A, \mathbb{F}_{p^r})$, $A_0$ l'ensemble des idéaux maximaux de $A$. Je note également $\kappa(\mathfrak{m})$ le corps résiduel de $A$ en $\mathfrak{m}$ et $\deg(\mathfrak{m}) := \deg \kappa(\mathfrak{m}) \mid \Fp$.

Et je note $A_0(d)$ l'ensemble des $\m$ de degré $d$.

Le premier truc à voir c'est que :
$$
\# X(\mathbb{F}_{p^r}) = \sum_{d \mid r} d \# A_0(d) \qquad (\star_2)
$$

Démonstration : (remarque c'est plutôt $(\star_1)$ qui est la bonne formule, je laisse cette formule au cas où.

Soit $f : A \to \mathbb{F}_{p^r}$ alors le noyau de $f$ est un idéal maximal $\mathfrak{m}$ de $A$ et induit un morphisme $\kappa(\mathfrak{m}) \to \mathbb{F}_{p^r}$. et réciproquement tout idéal maximal $\mathfrak{m}$ de $A$ et tout morphisme $\kappa(\mathfrak{m})$ induit (par composition avec la projection) un morphisme.
Ainsi :
$$
X(\mathbb{F}_{p^r}) = \coprod_{\m \in A_0}\text{Hom}(\kappa(\mathfrak{m}), \mathbb{F}_{p^r}) \qquad (\star_1)
$$
Mais comme $\mathfrak{m}$ et $\mathbb{F}_{p^r}$ sont des corps finis, l'ensemble $\text{Hom}(\kappa(\mathfrak{m}, \mathbb{F}_{p^r})$ est soit vide si $\deg \m$ ne divise pas $r$ et et de cardinal $\deg \m$ lorsque $\deg \m$ divise $r$.
Ainsi
$$
\#X(\mathbb{F}_{p^r}) = \coprod_{d \mid r } d \#A_0(d)
$$
$\blacksquare$
Pour le second truc à voir, j'introduis encore un peu de notation.

Je note $K(A_0)$ le groupe abélien libre engendré par $A_0$ i.e les sommes formelles finis $\sum a(\mathfrak{m}) [ \mathfrak{m}]$ et je vais dire que c'est des cycles (d'ordre $0$) et je peux étendre la fonction degré aux cycles par $$\deg \sum a(\mathfrak{m}) [ \mathfrak{m}] = \sum a(\mathfrak{m}) \deg \mathfrak{m}$$

Et dernière notation (promis) : $K_0^+(A_0)$ les cycles a coefficient positif et je les appelle cycles effectifs et pour finir $C_n$ l'ensemble des cycles effectifs de degré $n$ (avec $n$ un entier).

Alors on a :
$$
\exp \left ( \sum_{r \ge 1} \#X(\mathbb{F}_{p^r}) {t^r \over r} \right) = \prod_{\mathfrak{m} \in A_0} \frac{1}{1-t^{\deg(\mathfrak{m})}} \qquad (\star_3)
$$
Pour le voir, on peut utiliser $(\star_1)$ que j'écrit comme :
$$
\#X(\mathbb{F}_{p^r}) = \sum_{\m \in A_0} \#\text{Hom}(\kappa(\mathfrak{m}), \mathbb{F}_{p^r})
$$
Et donc :
$$
Z(A,t) = \prod_{\m \in A_0} Z(\kappa(\m),t) = \prod_{\m \in A_0} \frac{1}{1-t^{\deg(\mathfrak{m})}}
$$
(Remarque il faut peut être faire attention, bon sinon on prend le logarithme (peut être la dérivée logarithmique décalé, c'est mieux) des deux côtés de $(\star_3)$ et on utilise $(\star_2)$.
On en déduit que :
$$
Z(A,t) = \prod_{\m \in A_0} \sum_{r \geq 0} t^{r\deg(\mathfrak{m})}
$$
Et ne arrangeant les puissances on trouve :
$$
Z(A,t) = \sum_{n \geq 0} \# C(n) t^n
$$
Bref, il faut que je le fasse au propre là il y a un peu de flou.

Donc, ce que je voulais dire c'est que si on a :
$$
Z(A,t) = \sum_{n \geq 0} \# C(n) t^n
$$
Et a l'existence de $X^{(n)}$
vérifiant :
$$
Z(A,t) = \sum_{n \geq 0} X^{(n)}(\mathbb{F}_p) t^n
$$
Alors
$$
\#X^{(n)}(\mathbb{F}_p) = \#C(n)
$$
Et ça rejoint ce que Lupulus a dit au départ, les points de $X^{(n)}$ sur $\Fp$ correspondent au cycle effectif de degré $n$. Et ne fait, c'est donné dans le pdf page 15 et également le petit calcul page $8$ c'est le calcul que j'ai détaillé ici. (Bon c'est pas super clean).