forme bilinéaire symétrique continue

CechLM
CechLM
dans Algèbre
Salut.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz permet de montrer qu'une forme bilinéaire symétrique associée à une forme quadratique positive est continue.

Pouvez-vous justifier cette info s'il vous plaît ?

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Majore $|b(x,y)-b(x',y')|$ en utilisant Cauchy-Schwarz (et en passant par $b(x,y')$).

    ps. Je suppose que la topologie sur $E\times E$ est la topologie produit, la topologie sur $E$ étant donnée par la norme associée à la forme quadratique définie positive.
  • gb
    gb
    Bonjour,

    L'inégalité de Cauchy-Schwarz fournit une majoration de \(f(x,y)\) qui prouve que la forme bilinéaire symétrique \(f\) est continue en 0.
    Par translation, on en déduit que \(f\) est continue en tout point.
  • Math Coss
    Math Coss
    Si on suppose la forme définie positive et que l'on prend la topologie associée à la norme correspondante, ça devrait résulter de l'inégalité classique
    \[\bigl|\phi(u,v)-\phi(u',v')\bigr|\le \bigl|\phi(u-u',v)\bigr|+\bigl|\phi(u',v-v')\bigr|\le\|u-u'\|\cdot\|v\|+\|u'\|\cdot\|v-v'\|.\]
    (Classique parce que c'est ce qu'on utilise pour montrer que le produit de deux suites convergente a pour limite le produit des limites, pour dériver le produit de deux fonctions, etc.)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    @MathCoss : c'est ce que j'avais suggéré, non ? Tu as fait le travail à la place de CechLM.
    @gb : le "par translation" me paraît ole-ole.
  • gb
    gb
    @GaBuZoMeu : ma remarque vient de ce que je n'utilisais inégalité de Cauchy-Schwarz que pour établir la continuité en 0. J'avais établi par ailleurs qu'une application multilinéaire est continue dès qu'elle continue en 0.
  • Math Coss
    Math Coss
    @GaBuZoMeu : en effet mais je n'ai vu ta réponse qu'après avoir posté la mienne. Je me suis même réjoui d'une telle concordance, reproché ma lenteur, demandé si j'en avais trop dit, convaincu que finalement ce n'est pas si grave pour une question si simple et félicité d'avoir explicité le lien avec d'autres preuves classiques, ce qui est plus explicite qu'« en passant par $b(x,y')$ » (il s'en passe des choses dans ma tête, hein ?).
  • CechLM
    CechLM
    Pour que ce soit vrai il est nécessaire que ma fbs [?? forme bilinéaire symétrique ?] soit définie ?
    Car j'ai lu qu'on allait munir $E$ de la topologie associée à la norme associée à la forme quadratique définie positive.
  • Math Coss
    Math Coss
    Si la forme quadratique n'est pas définie positive, sa racine carrée n'est pas une norme (pour un vecteur $v$ non nul dans le noyau, $q(v,v)=0$).

    Et si on prend une autre topologie que celle qui provient de la forme quadratique (une autre norme en dimension infinie par exemple, ou la topologie grossière en dimension finie), il n'y a pas de raison que la continuité pour la norme associée à la forme quadratique entraîne la continuité pour cette topologie.
  • CechLM
    CechLM
    Ah oui je vois ! Je vais tenter alors rédiger la preuve avec ce que vous m'avez dit.

    Ah oui finalement c'est la réponse de Math Coss juste pour conclure, je pense faire : Je me place sur $B(0,1)$ et sachant que $|| (u',v')-(u,v)|| = max (||u-u'||,||v-v'||) = \alpha$

    $ \bigl|\phi(u,v)-\phi(u',v')\bigr|\le \bigl|\phi(u-u',v)\bigr|+\bigl|\phi(u',v-v')\bigr| \le\|u-u'\|\cdot\|v\|+\|u'\|\cdot\|v-v'\| \le 2\alpha $

    D'ailleurs la méthode dont Math Coss parle se voit aussi dans la preuve de $f\in L^{p}(\mathbb R), g \in L^{\frac{p-1}{p}}(\mathbb R) \Rightarrow f*g \in C_0^0(\mathbb R)$ une fois qu'on a approximé par des fonctions à support compact pour revenir au cas général on utilise "la méthode".
  • CechLM
    CechLM
    J'ai édité ma réponse.
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