Valeurs propres matrice et transposée

André49 · January 2018

Bonjour,

Que pensez-vous de l’affirmation suivante, trouvée en consultant (mais sur Internet, avec certaines pages non consultables, où j’ai donc peut-être raté une importante information…) le livre de François Cottet-Emard, « 36 problèmes corrigés pour le CAPES de mathématiques », paru chez « De Boeck » en 2016 :

« […] une matrice et sa transposée ont le même polynôme caractéristique. Attention, elles ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes ordres de multiplicité, mais elles n’ont pas les mêmes sous-espaces propres. Il se peut qu’une matrice soit diagonalisable mais que sa transposée ne le soit pas ! » (page 71)

Qu’elles n’aient pas les mêmes sous-espaces propres associés à la même valeur propre, OK ; mais que l’une soit diagonalisable et l’autre pas, j’ai du mal à saisir…

Quelqu’un aurait-il la possibilité de consulter ce livre ? J’ai peut-être sauté une page où l’on se placerait dans un cas très particulier… ?

GaBuZoMeu · January 2018

Vu que toute matrice carrée est semblable à sa transposée, le livre que tu cites raconte une bêtise.

PS. Un argument terre à terre : si $D=P^{-1}AP$ avec $D$ diagonale, alors $D= P^{\mathsf T} A^{\mathsf T} (P^{\mathsf T})^{-1}$.

André49 · January 2018

Merci GaBuZoMeu,

c'est exactement l'argument auquel je pensais... je n'arrive donc pas à saisir pourquoi on peut écrire le contraire. C'est pourquoi je me disais que la consultation des pages antérieures (non disponibles sur Internet) aurait pu apporter une explication.

Chaurien · January 2018

Ce genre de bourde nuit gravement aux étudiants en leur faisant perdre du temps - au moins.
Heureusement qu'il y a ce forum.
On pourrait peut-être signaler celle-ci en « commentaire client ».

Valeurs propres matrice et transposée

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