Matrices unitaires et module

Bonjour,

J'avais noté dans un document personnel une liste d'équivalences pour montrer qu'une matrice $A\in{M_n}(\mathbb{C})$ est unitaire ; parmi celles-ci, il y a :

" $A$ est unitaire si et seulement si les valeurs propres de $A$ sont de la forme $e^{i\theta}$ "

J'avais copié ça à partir d'un doc Internet dont j'ai oublié la source, évidemment. En revenant dessus, il me semble qu'il y a un problème.

Dans le sens : unitaire $\Longrightarrow$ $\lambda=e^{i\theta}$, c'est évident. Mais dans le sens inverse, je coince et j'en viens à penser qu'il y a une erreur et qu'il devrait y avoir une condition sur $A$ ; quelque chose du style :

" Réciproquement, si toutes les valeurs propres d'une matrice $A\in{M_n}(\mathbb{C})$ sont de la forme $e^{i\theta}$ et que $A$ est...???..., alors $A$ est unitaire. "

Pourriez-vous me dire ce que vous en pensez ?