Matrices unitaires et module
Bonjour,
J'avais noté dans un document personnel une liste d'équivalences pour montrer qu'une matrice $A\in{M_n}(\mathbb{C})$ est unitaire ; parmi celles-ci, il y a :
" $A$ est unitaire si et seulement si les valeurs propres de $A$ sont de la forme $e^{i\theta}$ "
J'avais copié ça à partir d'un doc Internet dont j'ai oublié la source, évidemment. En revenant dessus, il me semble qu'il y a un problème.
Dans le sens : unitaire $\Longrightarrow$ $\lambda=e^{i\theta}$, c'est évident. Mais dans le sens inverse, je coince et j'en viens à penser qu'il y a une erreur et qu'il devrait y avoir une condition sur $A$ ; quelque chose du style :
" Réciproquement, si toutes les valeurs propres d'une matrice $A\in{M_n}(\mathbb{C})$ sont de la forme $e^{i\theta}$ et que $A$ est...???..., alors $A$ est unitaire. "
Pourriez-vous me dire ce que vous en pensez ?
J'avais noté dans un document personnel une liste d'équivalences pour montrer qu'une matrice $A\in{M_n}(\mathbb{C})$ est unitaire ; parmi celles-ci, il y a :
" $A$ est unitaire si et seulement si les valeurs propres de $A$ sont de la forme $e^{i\theta}$ "
J'avais copié ça à partir d'un doc Internet dont j'ai oublié la source, évidemment. En revenant dessus, il me semble qu'il y a un problème.
Dans le sens : unitaire $\Longrightarrow$ $\lambda=e^{i\theta}$, c'est évident. Mais dans le sens inverse, je coince et j'en viens à penser qu'il y a une erreur et qu'il devrait y avoir une condition sur $A$ ; quelque chose du style :
" Réciproquement, si toutes les valeurs propres d'une matrice $A\in{M_n}(\mathbb{C})$ sont de la forme $e^{i\theta}$ et que $A$ est...???..., alors $A$ est unitaire. "
Pourriez-vous me dire ce que vous en pensez ?
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Réponses
Finalement, en fouillant, j'ai retrouvé ma fameuse source (image ci-dessous) ; le lien est http://w3.mi.parisdescartes.fr/~eprovenz/include/Poly.pdf
Il est indiqué "Polycopié du cours" ; il a l'air très bien fait mais je ne lui fais plus confiance ; manifestement le polycopié n'a pas été relu...
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