Applications théorème de Brauer

La matrice c'est $\rho(\sigma)_{ij} = 1_{\sigma(i) = j}$ et son polynôme caractéristique (*) encode le type de la permutation (par exemple $\sigma= (123)(45)$ est de type $\{3,2\}$). Donc $\rho(\sigma),\rho(\phi)$ ont le même polynôme caractéristique ssi $\sigma,\phi$ ont le même type de permutation ssi $\exists g, \sigma = g \phi g^{-1}$.

(*) On peut utiliser $\log \det(I-t \rho(\sigma)) = tr(\log(I-t\rho(\sigma)) =- \sum_{k=1}^\infty \frac{tr(\rho(\sigma)^k) }{k} t^k $ où $tr(\rho(\sigma)^k)$ est le nombre d'indices fixés par $\sigma^k$ donc ne dépend que du type de permutation de $\sigma$

$\rho(\sigma)$ est normale donc diagonalisable dans une base orthonormée. D'ailleurs tu ne devrais pas avoir que son polynôme caractéristique est scindé dans $K$ ? Et il se passe quoi si $K = \mathbf{F}_p$ et $\det(I-t\rho(\sigma)) = 1-t^p = (1-t)^p$ ?

En caractéristique $p<n$, la remarque de reuns fait que deux matrices de permutations peuvent avoir le même polynôme caractéristique sans être conjuguées (ni dans $\mathfrak{S}_n$, ni dans $\mathrm{GL}_n(\mathbb{F}_p)$). Par exemple, celles de l'identité et d'un $p$-cycle ont le même polynôme caractéristique $(X-1)^p=X^p-1$.

En effet ! Supposons alors que $n$ est un multiple de la caractéristique $p$ (par exemple $n=p$).

Ah oui, une difficulté c'est que si il y a du $1-t^p = (1-t)^p$ dans le polynôme caractéristique qui est scindé dans $\mathbb{F}_{p^k}$ alors $\rho(\sigma)$ aura une forme normale de Jordan mais ne sera pas diagonalisable dans $\mathbb{F}_{p^k}$

La forme normale de Jordan pourrait être un moyen de différencier $1-t^{p^k}$ de $(1-t)^{p^k}$ et $(1-t^{p^m})^{p^{k-m}}$ et de dire que $\sigma,\phi$ ont le même type de permutation si $\rho(\sigma),\rho(\phi)$ sont semblables

Lorsque j'ai préparé l'agrégation (l'année dernière), j'ai trouvé ce document utile : http://agreg-maths.univ-rennes1.fr/documentation/docs/Agreg.Brauer.pdf (surtout au niveau des dernières pages). J'ai finalement opté pour des développements dont je pouvais défendre l'intérêt sans avoir l'impression de vendre le truc : le "théorème" de Brauer n'en est pas un.