matrices de Gram

Plus généralement, le rang d'une famille de vecteurs d'un espace euclidien est égal au rang de la matrice de Gram de cette famille.
Le mieux est de considérer la matrice de cette famille dans une base orthonormale de l'espace.
La raison en est que le rang d'une matrice carrée réelle $A$ est égal au rang de la matrice $A^{\mathbf{T}}A$ .

Comment as-tu montré que les valeurs propres de $G $ sont positives ?

Conformément à la norme en vigueur, je note $M^{\mathbf{T}}$ la matrice transposée d'une matrice $M$.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$, soit $\mathcal F=(u_1,u_2,...,u_n)$ une famille de vecteurs de $E$, soit $g_{i,j}=(u_i|u_j)$ et soit la matrice $G=(g_{i,j})$, qui est la matrice de Gram de la famille $\mathcal F$. C'est une matrice réelle symétrique.

Soit $\mathcal B=(\epsilon_1,\epsilon_2,...,\epsilon_n)$ une base orthonormale de $E$, soit $A=(a_{i,j})$ la matrice de la famille $\mathcal F$ dans la base $\mathcal B$.
Un simple calcul montre que : $G=A^{\mathbf{T}}A$.

Soit $\lambda $ une valeur propre de $G=A^{\mathbf{T}}A$, forcément réelle, et soit un vecteur propre associé $X \in \mathbb R^n= \mathcal M_{n,1}(\mathbb R)$, en sorte que : $X \neq 0$ et $A^{\mathbf{T}}AX=\lambda X$, d'où : $||AX||^2= \lambda ||X||^2$, et par suite $\lambda \geq 0$, ce qui prouve que $G$ est une matrice symétrique réelle positive.

Si $Y \in \ker A$, autrement dit si $Y \in \mathbb R^n$ et si $AY=0$, il est clair que $Y \in \ker A^{\mathbf{T}}A$.
Réciproquement, si $Y \in \ker A^{\mathbf{T}}A$, alors $A^{\mathbf{T}}AY=0$, d'où : $||AY||^2= 0$, qui équivaut à : $Y \in \ker A$.
On a ainsi prouvé que $ \ker A^{\mathbf{T}}A= \ker A$, d'où il suit que les matrices $A$ et $G=A^{\mathbf{T}}A$ ont le même rang, qui est le rang de la famille $\mathcal F$.

Bonne soirée.
Fr. Ch.
11/01/2018

Oserai-je dire que je trouve ma solution plus simple ?

@ Eric
Parmi les propriétés de la matrice de Gram, il y a le fait que c'est une matrice réelle symétrique positive. Il n'est pas possible d'établir, ni même déjà d'évoquer, cette propriété sans référence aux valeurs propres. Peut-être ton exercice est-il conçu pour Math. Sup.

Pour démontrer l'égalité du rang de la famille de vecteurs $\mathcal F$ et du rang de sa matrice de Gram $G$, ma démonstration convient aussi puisqu'elle n'utilise que le produit scalaire canonique dans $\mathbb R^n$.

Je n'ai pas signalé que le déterminant de la matrice de Gram est positif ou nul, car dans mon propos ceci découlait immédiatement du caractère positif de cette matrice. Mais si l'on veut se passer de cet argument, ceci découle immédiatement aussi de l'égalité $G=A^{\mathbf{T}}A$, qui est très simple à établir.

Cette égalité montre aussi immédiatement que $G$ est inversible si et seulement si $A $ est inversible, ce qui équivaut au fait que la famille de vecteurs $\mathcal F$ est libre, et ceci répond au questionnement initial, sans passer par des détours bizarres.

Ton exercice donne une propriété du déterminant de Gram que je n'ai pas abordée, c'est l'expression de la distance d'un vecteur à un sous-espace. C'est une propriété importante et intéressante, et pour l'établir, ma démonstration est insuffisante. Il faut les arguments à caractère pourrait-on dire géométrique que tu emploies. C'est curieux d'aller chercher ça dans un livre sur les espaces de Hilbert, le cadre euclidien suffit.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Bonne idée le critère de Sylvester, je pense qu'on doit le trouver dans des annales d'oraux de concours, je l'avais mis dans mes feuilles d'exos quand j'enseignais en Math. Spé., il y a dans les vingt ans.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Je me demande si tu as seulement pris la peine de lire ce que Chaurien et moi-même avons posté.