Une étrange affirmation
En effectuant des recherches Internet, je suis tombé sur le document suivant :
https://www.lptmc.jussieu.fr/user/viot/COURS/numeri10.pdf
[Jussieu, Analyse spectrale, auteur Pascal Viot, Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée]
Au tout début (chapitre « propriétés des matrices »), il est écrit :
« Les vecteurs propres d'une matrice normale ne possédant que des valeurs propres non dégénérées forment une base d'un espace vectoriel de dimension N. Pour une matrice normale avec des valeurs propres dégénérées, les vecteurs propres correspondant à une valeur propre dégénérée peuvent être remplacés par une combinaison linéaire de ceux-ci. »
J’avoue ne rien comprendre à cette phrase. D’après le Théorème spectral, toute matrice normale est diagonalisable ; comment pourrait-elle avoir des valeurs propres dégénérées, dont la dimension de l’espace propre associé ne correspondrait pas à la multiplicité ?
J'aimerais bien avoir un avis. Car si je n'y comprends rien parce que ça vient d'un manque de connaissances de ma part, il est important que je corrige ça.
https://www.lptmc.jussieu.fr/user/viot/COURS/numeri10.pdf
[Jussieu, Analyse spectrale, auteur Pascal Viot, Laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée]
Au tout début (chapitre « propriétés des matrices »), il est écrit :
« Les vecteurs propres d'une matrice normale ne possédant que des valeurs propres non dégénérées forment une base d'un espace vectoriel de dimension N. Pour une matrice normale avec des valeurs propres dégénérées, les vecteurs propres correspondant à une valeur propre dégénérée peuvent être remplacés par une combinaison linéaire de ceux-ci. »
J’avoue ne rien comprendre à cette phrase. D’après le Théorème spectral, toute matrice normale est diagonalisable ; comment pourrait-elle avoir des valeurs propres dégénérées, dont la dimension de l’espace propre associé ne correspondrait pas à la multiplicité ?
J'aimerais bien avoir un avis. Car si je n'y comprends rien parce que ça vient d'un manque de connaissances de ma part, il est important que je corrige ça.
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Réponses
Comme l'auteur s'intéresse visiblement aux méthodes numériques de calcul des éléments propres, il me semble que le point important de son discours est que « les vecteurs propres correspondant à une valeur propre dégénérée peuvent être remplacés par une combinaison linéaire de ceux-ci » : dans le cas d'une valeur propre simple, la seule possibilité est de remplacer le vecteur propre obtenu par un vecteur colinéaire, ce qui ne change pas grand chose, alors que pour une valeur propre multiple, il peut s'avérer intéressant de ne pas conserver la base du sous-espace propre fournie par la méthode numérique. Il faut toutefois rester vigilant, et ne pas utiliser de combinaisons linéaires qui fourniraient des vecteurs linéairement dépendants…
Par ailleurs, j'ai un problème avec le premier paragraphe de la page 106 :
Quel est « l'espace associé » à la valeur propre multiple : le sous-espace propre ? le sous-espace caractéristique ?
Cette terminologie n'a pas l'air d'être très fréquente (je ne l'avais jamais entendu ; elle semble venir de la physique) mais consistante : personne ne semble définir une valeur propre dégénérée comme une valeur propre dont les sous-espaces propre et caractéristique sont distincts.
Et effectivement, le document n'est pas un modèle de rigueur. Les sous-espaces caractéristiques ne sont pas introduits ni même sous-entendus, ce qui rend la citation qu'à relevé gb caduque.
je n'avais pas remarqué la phrase que tu cites. Encore une fois, pour moi, c'est incompréhensible. On m'a toujours dit qu'une valeur propre est appelée "dégénérée" si la dimension de son sous-espace propre associé est strictement inférieure à la multiplicité de la dite valeur propre.
Ils sont peut-être mentionnés dans les 104 pages précédant ce chapitre 10…
Ceci dit, je ne vois toujours pas comment une matrice normale possèderait autre chose que des valeurs propres non dégénérées ? Mais qu'est-ce donc qui m'échappe ?