Exercice groupes finis

Une heure après et encore pas de réponse, j'en conclus que l'exercice est soit vraiment facile ou qu'il est réellement compliqué!
Qu'importe voilà ma tentative la plus fructueuse:
Soit $x,y$ dans G on veut montrer que $xyx^{-1}y^{-1}=1$, pour cela montrons que ce commutateur est point fixe de f.
On veut montrer que $f([x,y])=[x,y]$ ou de manière équivalente que $f([x,y]).[y,x]=1$.
Appelons cette dernière quantité $a$.
Montrer que $a=1$ revient à montrer que $a$ est point fixe de $f$.
Or $f(a)=a^{-1}$.
Considérons alors $H$ le sous groupe engendré par $a$.
Je suppose alors par l'absurde que l'ordre de $H$ est strictement plus grand que 1.
J'obtiens alors une contradiction quand l'ordre de H est pair mais rien dans le cas impair.
Voilà.
2 remarques:
1.on peut aussi introduire b=$[y,x].f([x,y])$ qui a les mêmes propriétés que $a$.
2. Pour tout élément $g$ du groupe on a:
$f(g.f(g))=f(g).g$

Voilà merci encore d'avance pour toute indication ou réponse.

@AD
D'accord..
Merci beaucoup, ça marche bien.
Savoir par avance que f sera l'inversion est bien utile.