Formes quadratiques

Apollonius · January 2018

Bonne soirée

Les formes quadratiques continues positives sur les fonctions continues d'un espace topologique $X$ sont-elles données par les mesures positives $\mu$ : $$<f,g>\, = \int_X fg \, d\mu \quad?$$ pour $f,g \in {\cal C}^0 (X)$.

Merci de me débloquer.

reuns · January 2018

1) Tu peux commencer par $\langle f,g \rangle = \frac{1}{2} (\langle f+g,f+g \rangle -\langle f-g,f-g \rangle)$
donc tu as une forme bilinéaire définie positive.

$f \mapsto \langle f, g \rangle$ est une forme linéaire continue donc donnée par une mesure finie $\mu_g$.

2) Tu peux aussi regarder les formes bilinéaires définies positives sur $\mathbb{R}^n$.

Phare · January 2018

Bonjour
Je n'arrive pas à comprendre ta question.
Demandes-tu si pour toute forme quadratique continue positive, il existe une mesure $\mu$ telle que...
ou ta question est différente ?

Apollonius · January 2018

Bonjour

En fait, je propose la question suivante : étant donnée une forme quadratique positive continue $<f,g>$ sur les fonctions continues sur un espace topologique compact $X$, existent-ils un espace topologique $Y$, une application continue $\alpha : Y \rightarrow {{\cal C}^0(X)}^*$ (de $Y$ dans le dual topologique des fonctions continues sur $X$), et une mesure positive $\mu$ sur $Y$ tels que :$$ <f,g> \,= \int_{y \in Y} \alpha_y (f) \alpha_y (g) \, d \mu (y) \quad ?$$ Merci de me débloquer.

Formes quadratiques

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