anneau noetherien

$n=1$, et on prend l'identité. Si $n$ est fixé et $\geq 2$, ça n'a aucune raison d'exister, par exemple si $A$ est commutatif.

Bref, que veux-tu réellement faire ?

Que dire d'un $A$-module de type fini si $A$ est noethérien ?

Si $A$ est noethérien, $M_n(A)$ est un $A$-module noethérien puisque de type fini sur $A$. Soit $X$ une famille de sous-$M_n(A)$-modules (à gauche mettons) de $M_n(A)$. Comme il s'agit aussi de sous-$A$-modules, cette famille admet un élément maximal pour l'inclusion et donc $M_n(A)$ est un $M_n(A)$-module noethérien donc $M_n(A)$ est un anneau noethérien.

*******

Il existe un unique morphisme d'anneau $f $de $\Z$ dans $M_2(\Z)$ et si c'était un épimorphisme (au sens catégorique, dans la catégorie des anneaux), on aurait notamment pour tous morphismes d'anneaux $g,h M_2(\Z) \to M_2(\Z)$ tels que $g \circ f = h \circ f$, la relation $g=h$. Or c'est faux pour $g=id:x\mapsto x$ et $h:= x \mapsto MxM^{-1}$ avec $M=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$.