Polynôme irréductible et cycles

Bonsoir,

Je me pose la question suivante :

1) Existe-t-il $n$ arbitrairement grand ainsi qu'un polynôme de $\Bbb Z\left[ X\right]$ unitaire irréductible de degré $n$ qui n'a pas de $n$-cycle dans son groupe de Galois?

Histoire de donner un cadre, la question précédente est motivée par les suivantes :

2) Pour tout $n\geq3$ et $f\in\Bbb Z\left[ X\right]$ unitaire irréductible, de degré $n$, existe-t-il un premier $p$ tel que le réduit modulo $p$ de $f$ est encore irréductible?

Si un tel premier existe, alors le groupe de Galois de $f$ sur $\Bbb Q$ contient un $n$-cycle (théorème de Dedekind), d'où la question suivante qui permet de répondre par la négative à la précédente :

3) Existe-t-il un $n\geq3$ et $f\in\Bbb Z\left[ X\right]$ unitaire irréductible de degré $n$ dont le groupe de Galois sur $\Bbb Q$ ne contient pas de $n$-cycle?

Pour répondre à la $3)$, on ne peut prendre $n=3$ (les seuls groupes de Galois d'un polynôme de degré $n=3$ sont les groupes cycliques d'ordre 3 et 6 ainsi que le groupe symétrique d'ordre 6). Mais j'ai trouvé un contre-exemple avec $n=4$, en prenant $X^4+8X+12$. Ce dernier polynôme répond donc à la question $2)$ par la négative.

D'après la remarque précédant $2)$, une réponse positive à la question $1)$ permettrait de montrer que l'ensemble des $n$ pour lesquels il existe un polynôme irréductible unitaire de $\Bbb Z\left[ X\right]$ mais qui est réductible modulo tout premier, est infini.

Bonne soirée.