Polynôme irréductible et cycles
Bonsoir,
Je me pose la question suivante :
1) Existe-t-il $n$ arbitrairement grand ainsi qu'un polynôme de $\Bbb Z\left[ X\right]$ unitaire irréductible de degré $n$ qui n'a pas de $n$-cycle dans son groupe de Galois?
Histoire de donner un cadre, la question précédente est motivée par les suivantes :
2) Pour tout $n\geq3$ et $f\in\Bbb Z\left[ X\right]$ unitaire irréductible, de degré $n$, existe-t-il un premier $p$ tel que le réduit modulo $p$ de $f$ est encore irréductible?
Si un tel premier existe, alors le groupe de Galois de $f$ sur $\Bbb Q$ contient un $n$-cycle (théorème de Dedekind), d'où la question suivante qui permet de répondre par la négative à la précédente :
3) Existe-t-il un $n\geq3$ et $f\in\Bbb Z\left[ X\right]$ unitaire irréductible de degré $n$ dont le groupe de Galois sur $\Bbb Q$ ne contient pas de $n$-cycle?
Pour répondre à la $3)$, on ne peut prendre $n=3$ (les seuls groupes de Galois d'un polynôme de degré $n=3$ sont les groupes cycliques d'ordre 3 et 6 ainsi que le groupe symétrique d'ordre 6). Mais j'ai trouvé un contre-exemple avec $n=4$, en prenant $X^4+8X+12$. Ce dernier polynôme répond donc à la question $2)$ par la négative.
D'après la remarque précédant $2)$, une réponse positive à la question $1)$ permettrait de montrer que l'ensemble des $n$ pour lesquels il existe un polynôme irréductible unitaire de $\Bbb Z\left[ X\right]$ mais qui est réductible modulo tout premier, est infini.
Bonne soirée.
Je me pose la question suivante :
1) Existe-t-il $n$ arbitrairement grand ainsi qu'un polynôme de $\Bbb Z\left[ X\right]$ unitaire irréductible de degré $n$ qui n'a pas de $n$-cycle dans son groupe de Galois?
Histoire de donner un cadre, la question précédente est motivée par les suivantes :
2) Pour tout $n\geq3$ et $f\in\Bbb Z\left[ X\right]$ unitaire irréductible, de degré $n$, existe-t-il un premier $p$ tel que le réduit modulo $p$ de $f$ est encore irréductible?
Si un tel premier existe, alors le groupe de Galois de $f$ sur $\Bbb Q$ contient un $n$-cycle (théorème de Dedekind), d'où la question suivante qui permet de répondre par la négative à la précédente :
3) Existe-t-il un $n\geq3$ et $f\in\Bbb Z\left[ X\right]$ unitaire irréductible de degré $n$ dont le groupe de Galois sur $\Bbb Q$ ne contient pas de $n$-cycle?
Pour répondre à la $3)$, on ne peut prendre $n=3$ (les seuls groupes de Galois d'un polynôme de degré $n=3$ sont les groupes cycliques d'ordre 3 et 6 ainsi que le groupe symétrique d'ordre 6). Mais j'ai trouvé un contre-exemple avec $n=4$, en prenant $X^4+8X+12$. Ce dernier polynôme répond donc à la question $2)$ par la négative.
D'après la remarque précédant $2)$, une réponse positive à la question $1)$ permettrait de montrer que l'ensemble des $n$ pour lesquels il existe un polynôme irréductible unitaire de $\Bbb Z\left[ X\right]$ mais qui est réductible modulo tout premier, est infini.
Bonne soirée.
Réponses
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Pour la question de la fin si tu prends le polynôme cyclotomique $\Phi_{2^k}$ pour tout $k$ plus grand que $3$, je pense que pour tout premier $p$ alors $\Phi_{2^k}$ est réductible modulo $p$.
Cela viens de la structure de $\left(\Z/ 2^k \Z \right)^\star$ qui n'est pas cyclique et du fait que le polynôme cyclotomique $\Phi_n$ se décompose en facteur de degré l'ordre de $p$ dans $\left(\Z/n\Z)\right)^\star$ (et si ce dernier n'est pas cyclique aucune chance pour que l'ordre de $p$ soit le degré de $\Phi_n$).
Edit : bien sûr c'est pour $p$ premier à $n$ comme a dis Claude ! -
Pour la 2) : le polynôme $X^4 + 1 \in \Z[X]$ est irréductible et réductible modulo $p$ pour tout premier $p$. C'est le polynôme cyclotomique $\Phi_8$. On peut construire d'autres exemples car on connait le type de factorisation du polynôme cyclotomique $\Phi_n(X)$ sur $\mathbb F_q$ : cela te dit quelque chose (c'est lié à l'ordre de $q$ dans $(\Z/n\Z)^\times$ quand $n \wedge q = 1$) ?
Cela répond à ta 2) ? -
@moduloP : merci, j'avais oublié ce résultat sur la structure des polynômes cyclotomiques sur les corps finis (à caractéristique première à $n$). Du coup, ça répond bien à ma dernière question, sans passer par $1)$!
@claude : oui, ça me dit quelque chose maintenant. Ça donne une réponse systématique à ma toute dernière question, comme le suggère modP. Bon, comme je l'ai précisé, j'avais trouvé un polynôme un peu plus tordu : $X^4+8X+12$. -
Il existe même des polynômes irréductibles qui sont réductibles modulo tout entier.En voici une famille infinie:
On prend deux nombres premiers impairs distincts $p,q$ tel quels que $p\equiv 1 \ [8]$ et $q$ est un carré modulo $p$.
Alors, $X^4-2(p+q)X^2+(p-q)^2$ est irréductible, mais réductible modulo tout entier. -
Je suppose que c'est une extension bi-quadratique, $\Q( \sqrt{p},\sqrt{q})$, juste ?? (peut être faire attention a $q$) (ça explique la condition $q$ est un carré modulo $p$ et par réciprocité quadratique $p$ est carré modulo $p$). Du coup, pour tout les nombres premiers $\ell$ le polynôme est non irréductible.
Je ne sais pas trop comment tu fais pour les $n$ non premier.
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