Exponentielle de matrice symétrique

Il y a une erreur quelque part.
Je trouve bien que (i) implique (ii), et (ii) et (iii) sont équivalentes
(et tout cela sans la moindre hypothèse de symétrie), mais (iii) n'implique pas (i). Enfin, avec (iii) on peut seulement montrer que les coefficients hors-diagonaux de $A$ sont négatifs, mais pas strictement négatifs.
Contre-exemple :
$A=\begin{bmatrix}
2 & 0 & -1 \\
0 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{bmatrix}$.
Je trouve, pour tout réel $t >0$,
$$e^{-tA}=e^{-2t} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k)!} t^k B^k
+e^{-2t} \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{(2k+1)!} t^k CB^k$$
où $C:=2I_3-A=\begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{bmatrix}$ et $B:=C^2=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{bmatrix}$. Il est alors facile de voir que tous les coefficients de $e^{-tA}$ sont strictement positifs, et ce pour tout réel $t>0$.

Pour donner des choses positives : pour (i) implique (ii), écrire
$A=\lambda I_n-B$ avec $\lambda \in \R$ et $B$ à coefficients tous strictement positifs, et ensuite c'est facile.

Pour l'équivalence entre (ii) et (iii), remarquer que (ii) équivaut à
la version faible ``$e^{-tA}$ à coefficients strictements positifs pour $t$ voisin de $0^+$", et montrer ensuite l'équivalence en comparant les développements en séries. Il y a aussi une démonstration amusante de (ii) implique (iii) qui utilise une transformée de Laplace.