Produit infini

J'imagine que si on veut bricoler directement sur le produit on doit utiliser:

$\displaystyle \frac{n^2}{n^2-1}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n}\right)}$

En voyant la forme du résultat on se doute bien de ce que seront les outils pour le calcul.
la présence du $2\pi$ laisse supposer l'utilisation de la formule de Stirling.
Et on se doute bien qu'on va télescoper à tout va.Si on respecte la feuille de route il n'y a rien de difficile mais c'est calculatoire et pénible à faire à la main.

$\begin{align}\ln\left(\frac{1}{e} \Big(\frac{n^2}{n^2 - 1}\Big)^{n^{2}-1}\right)&=-1+(n^2-1)\Big(\ln(n)-\ln(n-1)+\ln(n)-\ln(n+1)\Big)\end{align}$

On pose, pour $n>1$,

$a_n=\ln(n)-\ln(n-1)$

Donc,

$\begin{align}\ln\left(\frac{1}{e} \Big(\frac{n^2}{n^2 - 1}\Big)^{n^{2}-1}\right)&=-1+(n^2-1)(a_n-a_{n+1})\\
&=-1+(a_{n+1}-a_n)+n^2a_n-n^2a_{n+1}\\
&=-1+(a_{n+1}-a_n)+n^2a_n-(n+1)^2a_{n+1}+2na_{n+1}+a_{n+1}\\
&=-1+2a_{n+1}-a_n+n^2a_n-(n+1)^2a_{n+1}+2na_{n+1}\\
\end{align}$

or,
$\begin{align}na_{n+1}&=n\Big(\ln(n+1)-\ln(n)\Big)\\
&=(n+1)\ln(n+1)-n\ln(n)-\ln(n+1)
\end{align}$

Donc,

$\begin{align}\ln\left(\frac{1}{e} \Big(\frac{n^2}{n^2 - 1}\Big)^{n^{2}-1}\right)&=-1+2a_{n+1}-a_n-2\ln(n+1)-\Big((n+1)^2a_{n+1}-n^2a_n\Big)+2\Big((n+1)\ln(n+1)-n\ln(n)\Big)\\
\end{align}$

Par télescopage on obtient,

$\begin{align}\sum_{n=2}^N \ln\left(\frac{1}{e} \Big(\frac{n^2}{n^2 - 1}\Big)^{n^{2}-1}\right)&=-(N-1)+2\Big(\ln(N+1)-\ln 2\Big)-\ln(N)-2\sum_{n=2}^N\ln(n+1)-\Big((N+1)^2a_{N+1}-4a_2\Big)+\\
&2\Big((N+1)\ln(N+1)-2\ln 2\Big)\\
&=-(N-1)+2\Big(\ln(N+1)-\ln 2\Big)-\ln(N)-2\sum_{n=2}^N\ln(n+1)-\Big((N^2+2N+1)(\ln(N+1)-\ln(N))-\\
&4\ln 2\Big)+2\Big((N+1)\ln(N+1)-2\ln 2\Big)\\
&=(3-N^2)\ln(N+1)+(N^2+2N)\ln(N)-(N-1)-2\ln\left(\Big(N+1\Big)!\right)\\
&=(3-N^2)\ln(N+1)+(N^2+2N)\ln(N)-(N-1)-\Big(\ln(2\pi)+\ln\Big(N+1\Big)+2(N+1)\ln\Big(N+1\Big)-\\
&2(N+1)+\epsilon_1(N)\Big)\\
&=(N^2+2N)\ln(N)-(N^2+2N)\ln(N+1)+N+3-\ln(2\pi)-\epsilon_1(N)\\
&=N+3-(N^2+2N)\ln\left(1+\frac{1}{N}\right)-\ln(2\pi)-\epsilon_1(N)\\
&=N+3-(N^2+2N)\Big(\frac{1}{N}-\frac{1}{2N^2}+\frac{1}{N^2}\epsilon_2(N)\Big)-\ln(2\pi)-\epsilon_1(N)\\
&=\boxed{\frac{3}{2}-\ln(2\pi)+\frac{1}{N}-\epsilon_1(N)-\left(1+\frac{2}{N}\right)\epsilon_2(N)}
\end{align}$

avec, $\ \displaystyle \lim_{N\rightarrow +\infty}\epsilon_1(N)=\lim_{N\rightarrow +\infty}\epsilon_2(N)=0$

On obtient donc que, $\quad\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} \ln\left(\frac{1}{e} \Big(\frac{n^2}{n^2 - 1}\Big)^{n^{2}-1}\right)=\frac{3}{2}-\ln(2\pi)$ et ainsi, $$
\begin{align}\boxed{\displaystyle \prod_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{e} \Big(\frac{n^2}{n^2 - 1}\Big)^{n^{2}-1} =\frac{\text{e}^{\frac{3}{2}}}{2\pi}}\end{align}$$