Coefficient dominant

Bonsoir, j'aimerais montrer que le coefficient domminant du polynôme:

$P=$ $(-1)^p \sum_{k=0}^p \binom{2p+1}{2k+1} X^{2k+1}(X^2 -1)^{p-k}$

vaut $(-4)^p$, $p \in \N$.
J'ai essayé en remarquant que $coeffdom(P)=(-1)^p\sum_{k=0}^p \binom{2p+1}{2k+1}$ puis en écrivant $2^{2p}=(1+1)^{2p}=\sum_{k=0}^2p \binom{2p}{k}$ mais j'avoue que je vois pas trop comment tout mettre ensemble et puis les indices ne correspondent pas à ce que je veux trouver... si vous pouviez m'aider, merci beaucoup !