Bonjour,
Je suis bloqué sur une récurrence, j'ai réussi à faire l’initialisation mais l'hérédité me bloque totalement.
Voilà merci beaucoup.
Edit et les [ sont en fait des doubles crochets, donc des nombres naturels.
Tu scindes la somme \(\displaystyle \sum_{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])} \left( \prod_{i\in J} a_i \right)\) en deux sommes partielles:
– l'une pour les parties \(J\) dont \(n+1\) est élément ;
– l'autre pour les parties \(J\) dont \(n+1\) n'est pas élément ;
et tu calcules séparément chacune de ces sommes partielles.
C'est l'idée, mais il y a un problème avec les indices : dans la somme initiale, les ensembles \(J\) sont des parties de \([1,n+1]\), et à la fin il te faut des parties de \([1,n]\) pour pouvoir utiliser l'hypothèse de récurrence.
Tu veux prouver :
\[\sum_{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])} \left( \prod_{i\in J} a_i \right) =
\prod_{k=1}^{n+1}(1+a_k) = (1+a_{n+1})\prod_{k=1}^n(1+a_k)\]
en utilisant l'hypothèse de récurrence au rang \(n\) :
\[\sum_{J'\in\mathfrak{P}([1,n])} \left( \prod_{i\in J'} a_i \right) = \prod_{k=1}^n(1+a_k)\]
et dans cette dernière formule, tu ne peux pas reprendre la notation \(J\) parce que c'est une partie de \([1,n+1]\) et qu'il te faut ici une partie de \([1,n]\) seulement.
Tu as à gérer la scission de la somme :
\begin{align}
\sum_{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])} \left( \prod_{i\in J} a_i \right) &=
\sum_{\stackrel{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])}{n+1\notin J}} \left( \prod_{i\in J} a_i \right) +
\sum_{\stackrel{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])}{n+1\in J}} \left( \prod_{i\in J} a_i \right) \\
&= \sum_{\stackrel{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])}{n+1\notin J}} \left( \prod_{i\in J} a_i \right) +
\sum_{\stackrel{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])}{n+1\in J}} \left( a_{n+1}\prod_{\stackrel{i\in J}{i\neq n+1}} a_i \right)
\end{align}
et l'introduction d'une partie \(J'\) de \([1,n]\) pour utiliser l'hypothèse de récurrence au rang \(n\).
Réponses
Tu scindes la somme \(\displaystyle \sum_{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])} \left( \prod_{i\in J} a_i \right)\) en deux sommes partielles:
– l'une pour les parties \(J\) dont \(n+1\) est élément ;
– l'autre pour les parties \(J\) dont \(n+1\) n'est pas élément ;
et tu calcules séparément chacune de ces sommes partielles.
Comme ceci? Mais je ne vois toujours pas comment la calculer?
La première somme est connue… et, dans la deuxième somme, il suffit d'utiliser le fait que \(n+1\) est élément des ensembles \(J\) concernés.
le an+1 n'est pas bien placé ici?
\[\sum_{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])} \left( \prod_{i\in J} a_i \right) =
\prod_{k=1}^{n+1}(1+a_k) = (1+a_{n+1})\prod_{k=1}^n(1+a_k)\]
en utilisant l'hypothèse de récurrence au rang \(n\) :
\[\sum_{J'\in\mathfrak{P}([1,n])} \left( \prod_{i\in J'} a_i \right) = \prod_{k=1}^n(1+a_k)\]
et dans cette dernière formule, tu ne peux pas reprendre la notation \(J\) parce que c'est une partie de \([1,n+1]\) et qu'il te faut ici une partie de \([1,n]\) seulement.
Tu as à gérer la scission de la somme :
\begin{align}
\sum_{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])} \left( \prod_{i\in J} a_i \right) &=
\sum_{\stackrel{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])}{n+1\notin J}} \left( \prod_{i\in J} a_i \right) +
\sum_{\stackrel{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])}{n+1\in J}} \left( \prod_{i\in J} a_i \right) \\
&= \sum_{\stackrel{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])}{n+1\notin J}} \left( \prod_{i\in J} a_i \right) +
\sum_{\stackrel{J\in\mathfrak{P}([1,n+1])}{n+1\in J}} \left( a_{n+1}\prod_{\stackrel{i\in J}{i\neq n+1}} a_i \right)
\end{align}
et l'introduction d'une partie \(J'\) de \([1,n]\) pour utiliser l'hypothèse de récurrence au rang \(n\).
Je vous souhaite une bonne fin de soirée