Base orthonormée

naima12
naima12
dans Algèbre
Bonjour
On considère $L=(L_1,L_2,\ldots,L_d)\in \mathbb R^d$ et $A$ une matrice symétrique.
On note $$V(x)={}^t\!Lx+ \frac{1}{2}{}^t\!xAx$$ pour tout $x\in\mathbb{R}^d=(x_1,x_2,\ldots,x_d)$
Peut-on trouver une base dans $\mathbb R^d$ telle que $V$ s'écrit dans cette base sous la forme $$V(x)=L_1x_1+ \frac{1}{2}\sum_{i=2}^d\lambda_ix_i^2\qquad ?
$$ Merci.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    En général il n'y a aucune raison pour qu'il existe une base orthogonale pour $A$ dans laquelle ta forme linéaire corresponde à une projection. En plus, vu que tu fais partir ta somme de $2$, il faut que (la forme quadratique associée à) $A$ ait pour rang $d-1$.
  • naima12
    naima12
    On ne peut pas faire un changement de variable tel que $$V(x')={L'}_1{x'}_1+ \frac{1}{2}\sum_{i=2}^d\lambda_i{x'}_i^2\qquad ?$$
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Poirot t'a déjà répondu. Tu reposes la même question.
    Tu pars, mettons, de $V(x,y)=x+x^2+y^2$, l'équation d'un cercle. Et tu voudrais un changement de variables dans $\R^2$ qui t'amène à quelque chose comme $x'+\lambda y'^2$, l'équation d'une parabole ?
  • naima12
    naima12
    Pour l'exemple que vous m'avez donné on ne peut pas.
    M    ais pour $V(x)=x+y+x^2$ peut-on appliquer le résultat ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    QUEL résultat ? Pour le moment je ne t'ai vu poser qu'une seule question, dont la réponse est négative.
    Par ailleurs, qu'est-ce que ta question a à voir avec la notion euclidienne de base orthonormée ?
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