Anneau arithmétique

claude quitté · January 2018

$\def\fp{\mathfrak p}\def\fm{\mathfrak m}$J'ouvre ce fil pour éviter le fil de parasiter celui-ci http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1596082,1596082#msg-1596082
Il s'agit de la suite de mon post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1596082,1596472#msg-1596472 et je réponds à moduloP in http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1596082,1596778#msg-1596778

Il y a donc deux définitions d'anneau (commutatif) arithmétique $A$ : celle utilisant les idéaux premiers (le localisé doit être un anneau de valuation général), l'autre utilisant le fait que pour deux éléments $x,y$ il existe $s, t$ ...etc.. cf mon post.

@moduloP : je te laisse faire la preuve du sens facile (de la définition constructive vers celle avec idéaux premiers).

Dans l'autre sens, c'est plus difficile quand ``on n'a pas l'habitude''.

1) Local-global pour les systèmes linéaires. Soit $Ax = b$ un système (inconnue un vecteur $x$) à coefficients dans un anneau commutatif $R$. On suppose que le système admet une solution sur chaque localisé $R_\fp$, $\fp$ premier (ou plus faiblement sur chaque localisé $R_\fm$, $\fm$ maximal). Alors, il admet une solution sur $R$.

2) On applique cela dans notre histoire (où $x,y$ sont deux éléments donnés) au système suivant dont les inconnues sont $a,b,s,t$ :
$$
\left\{
\begin {array} {l}
sx - ay = 0 \\
ty - bx = 0 \\
s + t = 1 \\
\end {array} \right.
\qquad \quad
\hbox {inconnues : } a,b,s,t
$$

moduloP · January 2018

@Claude : Juste un tout petit truc sur le premier résultat 1) donc pour un système $Ax=b$ a regarder dans un anneau $R$. Bon je vais juste prendre $R =\Z$.

Soit $p_0$ un nombre premier, on note $s_0$ un solution de $Ax=b$ dans $R_{p_0}$. Alors $s_0 = \frac{x_0}{n_0}$ avec $x_0 \in \Z$ et $n_0 \notin p_0$.

On va créer une solution pour chaque premier $p$ divisant $n_0$. On écrit : $D(n_0) =\{ p_1, \dots,p_r\}$.
Et pour chaque $ i \in \{1,\dots,r\}$, on prend $s_i = \frac{x_i}{n_i}$ avec $x_i \in \Z$ et $n_i \notin (p_i)$.

Maintenant comme $n_0,n_1,\dots,n_r$ sont premiers entre eux dans leurs ensembles on peut former une relation de Bézout : $\sum_{i=0}^r u_i n_i = 1$.

On pose : $x = \sum_{i=0}^r u_i x_i \in \Z$ et alors $Ax = \sum_{i=0}^r u_i Ax_i = \sum_{i=0}^r u_i n_i b = b$
Et le tour est joué.

Il faut adapter ça sur un anneau $R$ général. On remplace les nombres premiers par des idéaux maximaux et .... je dois réfléchir car ça ne va pas se généraliser aussi facilement. Plus tard.

claude quitté · January 2018

$\def\fp{\mathfrak p}$@moduloP
Si, si, sur un anneau (commutatif) quelconque $R$, cela va s'adapter tout seul (le coup du système linéaire). Et le truc (qui vient) est ce qui assure le fondement des schémas affines.

Soit $(d_\fp)$ une famille d'éléments de $R$, indexée par les idéaux premiers de $R$, telle que $d_\fp \notin \fp$ (oh, la jolie négation générale). Alors $1 \in \langle d_\fp, \fp \in \text{Spec}(R) \rangle$. Why ? D'où un nombre fini de .. Et puis une relation de Bezout (finie, of course) du type $1 = u_1 d_{\fp_1} + u_2 d_{\fp_2} \cdots $

En passant : pourquoi la lettre $d$ utilisée pour $d_\fp$ ? Pour dénominateur, pardi.

PS : tout ce qui arrive est de ta faute, pas de la mienne. Qui a causé le premier de $xy \in \langle x^2, y^2 \rangle$ ? Pas moi.

moduloP · January 2018

@Claude : ok ça va ...
$\def\p{\mathfrak{p}}$ $\def\spec{\text{Spec}(R)}$ Pour tout $\p \in \spec$, il existe $s_\p \in R_\p$ tel que $As_\p=b$. On écrit $s_\p = \frac{x_\p}{d_\p}$ avec $d_\p \notin \p$. On considère $\langle d_\p, \p \in \spec \rangle$ qui n'est contenu dans aucun idéal maximal, c'est donc $A$ entier, et on conclu comme avant.

moduloP · January 2018

Hello Claude, $\def\p{\mathfrak{p}}$ $\def\spec{\text{Spec}(R)}$

Ok, pour définition classique implique définition constructive. Avec l'hypothèse, que les localisés en tout $\mathfrak{p}$ sont de valuations générales i.e pour tout $x,y \in R_\p$ : $x$ et multiple de $y$ ou $y$ multiple de $x$.

On obtient facilement une solution de ton système localement : si $y = kx$ on prend $a=s=0$ et $t=1$ $b=k$. On applique Local-global, et on a une solution du système sur $R$ et
$$
s+t = 1 \quad sx \in \langle y \rangle \quad ty \in \langle x \rangle
$$
Et on déduit que : $xy = sxy+txy \in \langle x^2, y^2 \rangle$ et on est content car $(x+y)^2 \in \langle x^2, y^2 \rangle$.

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