Forme quadratique et inégalité

André49 · January 2018

Bonjour,
Je suis quasi-sûr qu'il s'agit d'une application de cours, mais je voudrais bien savoir comment démarrer ?

Voici mes données:
- espace euclidien $\mathbb{R}^3$
- $A$ une matrice symétrique $3\times 3$ ayant $3$ valeurs propres : $2,5,5$
- $\varphi$ produit scalaire défini par $A$ : $\varphi(u,v)=u^TAv$
- $q$ forme quadratique associée : $q(u)=\varphi(u,u)$

Montrer que pour tout $u\in{E}, \quad q(u)\leq5\|{u}\|^2,\quad$ ($5$ étant évidemment la valeur propre maximale).

Poirot · January 2018

$$q(u)={}^t\!(Pu)D(Pu)$$ où $P$ est une matrice orthogonale diagonalisant $A$ et $D$ la matrice diagonale correspondante. Tu devrais pouvoir conclure ;-)

P. · January 2018

$A=U^T\mathrm{diag}(5,5,2)U$ où $U$ est orthogonale. Si $v=Uu$ alors $\|v\|^2=\|u\|^2$ et il n'y a plus qu'à se demander pourquoi $$5v_1^2+5v_2^2+2v_3^2\leq 5(v_1^2+v_2^2+v_3^2).$$

André49 · January 2018

@Poirot. J'arrive à : $$\varphi(u,u)=u^TAu=u^TPDP^{-1}u=(u^TP)D(P^Tu)=(u^TP)D(u^TP)^T.$$
@P. Je suis désolé, je ne vois pas ce que tu veux dire et pourquoi on doit introduire $v=Uu$

Poirot · January 2018

J'ai peut-être pris $^tP$ au lieu de $P$, ça ne change rien, ces matrices sont des matrices orthogonales. Donc comme l'a écrit P., elles préservent la norme euclidienne par définition.

André49 · January 2018

OK.
Il suffisait donc d'écrire : $$||\varphi(u,u)||=\varphi(u,u)
$$ $$
||\varphi(u,u)||=||(P^Tu)^TD(P^Tu)||=||(P^Tu)||\,||D||\,||(P^Tu)||=||u||\,||D||\,||u||\leq5||u||^2.
$$ Pas de remarque sur l'écriture ci-dessus ?

Poirot · January 2018

Si, $||x||$ n'a pas de sens pour $x$ réel si $||.||$ est la norme euclidienne sur $\mathbb R^3$, donc ton raisonnement n'a aucun sens. Pour conclure, P. t'a tout écrit.

André49 · January 2018

Merci. je vais me débrouiller avec ça.

Forme quadratique et inégalité

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 7