L'anneau de la 2-sphère homogénéisée
dans Algèbre
Soit $k$ un corps de caractéristique $\ne 2$. Le polynôme $X^2 + Y^2 + Z^2 - T^2 \in k[X,Y,Z,T]$ est alors irréductible et même absolument irréductible. On considère la $k$-algèbre intègre $A$ et son corps des fractions $K$ :
$$
A = {k[X,Y,Z,T] \over \langle X^2 + Y^2 + Z^2 - T^2 \rangle}, \qquad\quad K = \text{Frac}(A)
$$
Soient $u,v \in k[X,Y,Z,T]$ deux polynômes homogènes de même degré avec $v$ non multiple de $X^2 + Y^2 + Z^2 - T^2$. On se pose la question de savoir s'il existe deux formes linéaires $f,g$ en $(X,Y,Z,T)$ telles que :
$$
{u \over v} = {f \over g} \qquad \hbox {dans $K$}
$$
Par exemple (correction d'un signe, merci moduloP)
$$
{XY \over T^2 - (Y^2 + Z^2)} = {Y \over X} \qquad \hbox {dans $K$}
$$
Ceci étant dû au fait que $T^2 -(Y^2 + Z^2) = X^2$ dans $K$. Exemple facile, certes. Mais parfois c'est plus difficile :
Ci-dessus, j'ai testé si $gu - fv$ est divisible par $X^2 + Y^2 + Z^2 - T^2$. La réponse est oui et on voit le quotient $q$. Ceci certifie que $gu = fv$ dans $K$ donc $u/v = f/g$.
Question : comment peut-on, à l'aide d'un système de Calcul Formel opérant sur les anneaux de polynômes, tester, pour $u,v$ donnés, l'existence de $f,g$ comme décrit ci-dessus et en cas de réponse positive, fournir un couple $(f,g)$ répondant à la question ? C'est donc un ``exercice de Calcul Formel en algèbre''.
$$
A = {k[X,Y,Z,T] \over \langle X^2 + Y^2 + Z^2 - T^2 \rangle}, \qquad\quad K = \text{Frac}(A)
$$
Soient $u,v \in k[X,Y,Z,T]$ deux polynômes homogènes de même degré avec $v$ non multiple de $X^2 + Y^2 + Z^2 - T^2$. On se pose la question de savoir s'il existe deux formes linéaires $f,g$ en $(X,Y,Z,T)$ telles que :
$$
{u \over v} = {f \over g} \qquad \hbox {dans $K$}
$$
Par exemple (correction d'un signe, merci moduloP)
$$
{XY \over T^2 - (Y^2 + Z^2)} = {Y \over X} \qquad \hbox {dans $K$}
$$
Ceci étant dû au fait que $T^2 -(Y^2 + Z^2) = X^2$ dans $K$. Exemple facile, certes. Mais parfois c'est plus difficile :
> u ; 4*Y^2 - 18*X*Z - 14*Z^2 - 18*X*T - 48*Z*T - 18*T^2 > v ; 4*Y^2 + 13*Z^2 + 42*Z*T + 45*T^2 > > f ; 2*X + 6*Z + 2*T > g ; 2*X - 3*Z - 7*T > > // u/v = f/g modulo X^2 + Y^2 + Z^2 - T^2 > > Modulus ; X^2 + Y^2 + Z^2 - T^2 > ok, q := IsDivisibleBy(g*u - f*v, Modulus) ; > ok ; true > q ; -36*Z - 36*T
Ci-dessus, j'ai testé si $gu - fv$ est divisible par $X^2 + Y^2 + Z^2 - T^2$. La réponse est oui et on voit le quotient $q$. Ceci certifie que $gu = fv$ dans $K$ donc $u/v = f/g$.
Question : comment peut-on, à l'aide d'un système de Calcul Formel opérant sur les anneaux de polynômes, tester, pour $u,v$ donnés, l'existence de $f,g$ comme décrit ci-dessus et en cas de réponse positive, fournir un couple $(f,g)$ répondant à la question ? C'est donc un ``exercice de Calcul Formel en algèbre''.
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Réponses
Tu as un autre exemple de polynôme $u$ et $v$ ? De degré $2$ disons ?
PS. Y a un problème de signe dans ton premier exemple $$ {XY \over Y^2 + Z^2 - T^2} = {Y \over X} \qquad \hbox {dans $K$}$$ Il manque un $-$ quelque part .
Je suis susceptible d'en avoir autant que tu veux mais à cet instant, je ne peux pas (je suis coupé de ..).
Du coup, je pose un problème vaguement analogue, de manière plus géométrique. Je considère la sous-variété algébrique (c'est une hypersurface irréductible) $X$ de $\A^4_{a,b,c,d}$ définie par $ad = bc$, mieux par $\left| \matrix {a & b\cr c & d} \right| = 0$. Ainsi que le morphisme non partout défini :
$$
\psi : X --\kern -2pt \to \P^1, \qquad (a,b,c,d) \mapsto (a : c)
$$
Est ce que $\psi$ est défini au point $p_0 = (0,0,0,1)$ de $X$ ? Si oui, que vaut $\psi(p_0)$ ? Quel est l'ouvert de définition de $\psi$ ?
Un autre exemple :
$$
\psi' : X --\kern -2pt \to \P^1, \qquad (a,b,c,d) \mapsto (ac + bd - 2bc : (c-d)^2)
$$
Est ce que $\psi'$ est défini aux points $(\alpha, \alpha, 1, 1)$ de $X$ ? Note que $ac + bd - 2bc$ et $(c-d)^2$ sont nuls en ces points (sauf si je me suis gouré). Quel est l'ouvert de définition de $\psi'$ ?
Ici, j'ai fait très simple. Je pourrais compliquer en prenant plusieurs équations. Dispose-t-on d'un algorithme pour obtenir l'ouvert de définition d'un morphisme ? Ce type de questions débarque sans arrêt quand on cherche à faire des petits calculs en géométrie algébrique.
PS : il faudra un jour revenir sur $X^{(n)}$ ($n$-symmetric space) disons en affine.
Ton post http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1597118,1597200#msg-1597200. Oui, il y a une coquille de signe, j'ai corrigé. C'est le seul calcul que j'ai fait à la la main : partant de $X^2 + Y^2 + Z^2 = T^2$, je devais en déduire (après des calculs complexes) que $X^2 = T^2 - (Y^2 + Z^2)$. Sauf que je me suis planté en $X^2 = Y^2 + Z^2 - T^2$.
Quant aux exemples, tu peux les fabriquer toi-même. Tu pars avec $f, g$ linéaires dans $k[X,Y,Z,T]$ et tu poses :
$$
\left \{
\begin {array} {c}
u = q f + h \times \Modulus \\
v = q g + k \times \Modulus \\
\end {array}
\right.
\qquad\quad
q, h, k \in k[X,Y,Z,T]\quad \hbox {homogènes de degrés ad-hoc}
$$
Tu es ainsi sûr que modulo $\Modulus$, on a $u/v = f/g$.
Je veux illustrer quoi ? D'une part que le corps des fonctions d'une variété irréductible, cela peut-être un objet algébrique relativement complexe (pas de forme normale des éléments).
Et d'autre part que la machinerie Gröbner (qui fonctionne au dessus de tout corps et même de $\Z$), bien qu'en apparence ``rudimentaire'' (ce n'est pas péjoratif) permet de prendre en charge certains aspects effectifs. Ici c'est la détermination du conducteur de deux idéaux $(I : J) = \{ f \in k[\underline X] \mid fJ \subseteq I \}$ qui assure la mise.
Ah y'a une histoire de Gröbner, tu veux dire que je n'ai pas a résoudre un système $8 \times 81$ :-D
$$
\big( \langle v, \Modulus\rangle : u \big)
$$
Pour chaque $g_i$, on détermine $f_i$ tel que $g_i u = f_i v + \text{machin} \times \Modulus$. On a $u/v = f_i/g_i$ modulo .. Du coup, on dispose d'un système de relais, cela ne peut pas faire de mal (cf plus tard). Gröbner assure ces calculs. En homogène, on regarde s'il y a un $g_i$ de degré 1, ...etc..
L'autre histoire sur l'hypersurface $X : ad = bc$. Je ne me suis pas trop fait ch.er car :
$$
{a \over c} = {b \over d} \qquad \buildrel {\rm petites\ classes} \over = \qquad {ua + vb \over uc + vd}
$$
Pour l'instant, laisse tomber le coup des petites classes. Au point $p_0 = (0_a, 0_b, 0_c, 1_d)$ de $X$, où $(a : c)$ nous laisse tomber, on prend le relai $(b : d)$ qui est défini en $p_0$.
Et le coup de l'égalité des fractions des petites classes, c'est que j'ai pris $u=c$, $v = d-2c$, si bien que, sur $X$ :
$$
{a \over c} = {b \over d} = {ac + bd -2bc \over (c-d)^2}
$$
Sauf erreur de calcul. Bilan : $\varphi'$ c'est $\varphi$, je ne sais pas si tu t'en étais aperçu.
Note : le coup de l'égalité des fractions des petites classes, c'est vachement important dans le cadre de la localisation. Je t'assure.
Allez une petite illustration
Normal. Par défaut, les relais ne sont pas installés car c'est coûteux (pas ici, bien sûr). Maintenant, je vais faire du forcing pour installer les relais (ici un seul). C'est le coup des ``alternatives equations''.
Pour trouver une base du transporteur $\langle v, \text{Modulus} \rangle : u$. On détermine une base de $\langle v, \text{Modulus} \rangle \cap u$ et on divise chaque élément par $u$. C'est le theoreme 11 page 193 dans le livre de Cox, Little & O'Shea. La démonstration est facile.
La j'ai réussi à faire ... le truc c'est que la division passe par le corps de fraction même si elle est dans l'anneau. Et c'est la galère galère, mais c'est bon enfin a peu près !
Pour les histoires d'extend :
Par contre, je n'ai pas de extend, sauf si j'ai mal lu !
Etrange car dans la vie, sans relai, on ne peut rien faire. L'autre jour, j'avais deux cubiques planes projectives, l'une $E_1$ dans $\P^2_{a:b:c}$, l'autre $E$ dans $\P^2_{x:y:z}$, avec comme équations (je donne la seconde, qui est de Weirstrass, en $\{z=1\}$-affine) :
$$
E_1 : a^2c + b^2c + c^2a = nabc, \qquad\qquad E : y_{\rm aff}^2 = x_{\rm aff}^3 + (nx_{\rm aff} + 4)^2
$$
Elles sont isomorphes. Et il ``a fallu'' que je définisse un isomorphisme $\phi : E_1 \to E$. Il y a des soucis aux points :
$$
\P^2_{a:b:c} : \qquad p_1 = (1 : 0 : 0), \qquad p_2 = (0 : 1 : 0), \quad p_3 = (0 : 0 : 1)
$$
Qui correspondent aux points $(0 : 1 : 0)$ et $(0 : \pm 4 : 1)$ du côté de $E$.
Quand je dis soucis, ce n'est pas tout-à-fait vrai car le logiciel fait tout ce qu'il faut en arrière plan, sans me tracasser. Mais, pour le fun, j'ai voulu installer des relais. En voici un certain nombre (avec mention des points base là où l'expression n'est pas définie).
Rappel : toutes ces formes sont inutiles, la première suffit. Que va faire Sage si tu prends phiForm1 et tu veux calculer aux points $p_1, p_2$ ? S'il te donne les points images sans te donner les relais, ce n'est pas de jeu. Car la géométrie algébrique, ce n'est pas $p \ne p_0 \mapsto \text{expression}$, $p_0 \mapsto \text{valeur}$ : il faut donner deux ouverts qui recouvrent ...etc...